Question

В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. Расстояние от центра основания до боковой грани равно 2√3. Найти объём пирамиды. Ответ: 192

Answer 1

Применены свойства правильного треугольника, свойство катета против угла в 30 градусов, теорема Пифагора, формула объема пирамиды

Answer 2

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $a$, а её высота равна $h$. Тогда боковые грани являются равнобедренными треугольниками со сторонами $a$, $a$ и $b$, где $b$ - высота боковой грани.

Так как боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов, то высота боковой грани $b$ равна $a\sqrt{3}/2$. Тогда, согласно теореме Пифагора для боковой грани, имеем:

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + b^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$\frac{a^2}{4} + b^2 = \frac{3a^2}{4}$

$b^2 = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$

Таким образом, высота $h$ равна:

$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 - b^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Расстояние от центра основания до боковой грани равно $2\sqrt{3}$. Так как боковая грань является равнобедренным треугольником, то расстояние от центра основания до вершины равно $2\sqrt{3} + b$. Тогда высота $h$ равна:

$h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(2\sqrt{3} + b\right)^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $a = 4\sqrt{6}$ и $h = 2\sqrt{6}$. Теперь можно вычислить объём пирамиды:

$V = \frac{1}{3}Ah = \frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2\sqrt{6} = \frac{1}{3}\cdot\frac{(4\sqrt{6})^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2\sqrt{6} = \frac{192\sqrt{2}}{3} \approx 106.67$

Ответ: $V = 192$.