Question

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 7

Answer 1

Долго догадывался достроить.

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 14, BC = 7..

Answer 2

Пусть центр окружности находится в точке O, а точки касания окружности с прямой CD и BC обозначим соответственно как F и G. Так как O лежит на биссектрисе угла CED, то CE = DE. Поскольку точка E является точкой касания окружности с прямой AB, то AE = BE. Обозначим длину радиуса окружности как r.

Так как окружность проходит через точки C и D, то углы OCD и ODC являются прямыми. Значит, треугольник OCD - прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора:

OD^2 = OC^2 + CD^2.

Также из теоремы Пифагора для треугольника ODE мы имеем:

OD^2 = OE^2 + DE^2.

Вычитая первое равенство из второго, получим:

OE^2 + DE^2 - OC^2 = CD^2.

Также мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника OCG:

OG^2 = OC^2 - r^2.

Из теоремы Пифагора для треугольника OGE мы имеем:

OE^2 = OG^2 + GE^2.

Выражая OG^2 из последнего равенства и подставляя в предыдущее, получим:

OE^2 + DE^2 - OC^2 = CD^2, OE^2 + GE^2 + r^2 - OC^2 = CD^2.

Так как CE = DE и AE = BE, то треугольники ACE и BDE подобны. Значит, соотношение между сторонами и высотами этих треугольников должно быть одинаковым:

AE/CE = BE/DE, AE^2 = CE^2 + AC^2, BE^2 = DE^2 + BD^2.

Подставляя выражения для AE и BE из этих равенств, получим:

CE^2 + AC^2 = DE^2 + BD^2, CE^2 - DE^2 = BD^2 - AC^2.

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то AC = BD. Подставляя это равенство в последнее выражение, получим:

CE^2 - DE^2 = 0, CE = DE.

Значит, мы можем заменить в выражении для расстояния между точкой E и прямой CD величину DE на CE:

OE^2 + CE^2 - OC^2 = CD^2, OE^2 + GE^2 + r^2 - OC^2 = CD^2.

Вычитая из второго равенства первое, получим:

GE^2 + r^2 = 0, GE = 0, E наход