Question

В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла A пересекает сторону BC в точке N, BN=5см , NC=3см. Найдите пирометр параллелограмма ABCD.

Answer 1

Биссектриса делит угол пополам уголDAN =углу NAB. угол DANи угол ANВ накрест лежащие а значит равны. Расмотри треугольник АBN получается угол ANB = углу NAB треугольник равнобедренный AB=BN = 5. Сторона BC = 5+3=8. Р=2(8+5)=2×13=26

Answer 2

Обозначим длину стороны параллелограмма AB как a, а угол между сторонами AB и AD как α. Тогда, так как биссектриса угла A делит угол на две равные части, то угол ABC равен α/2.

Также заметим, что треугольники ABN и ADC подобны (по двум углам), поэтому можно написать пропорцию:

AB/AD = BN/DC,

a/(acosα) = 5/(asinα + 3),

откуда:

a*cosα = (5/a)asinα + (5/a)*3,

acosα - (5/a)asinα = 35/a,

a*(cosα - (5/a)*sinα) = 15/a,

cosα - (5/a)*sinα = 15/(a^2).

Теперь заметим, что треугольники ABN и ACD подобны (по двум углам), поэтому можно написать пропорцию:

AB/AD = BN/CD,

a/(a*cosα) = 5/(CD + 3),

откуда:

CD = 5*(a*cosα)/a - 3.

Теперь можем выразить высоту параллелограмма, опущенную на сторону AB:

h = CDsinα = (5cosα^2 - 3*cosα)*sinα.

И, наконец, можем найти площадь параллелограмма как произведение основания AB на высоту h:

S = ah = a(5cosα^2 - 3cosα)*sinα.

Теперь осталось только найти значение cosα и sinα. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике ABC:

AB^2 = BC^2 + AC^2 = 5^2 + (a*sinα + 3)^2,

cosα = AC/AB = (asinα + 3)/sqrt(25 + a^2sinα^2 + 6a*sinα).

Подставляя это выражение для cosα в уравнение для высоты и площади, получим:

h = (5cosα^2 - 3cosα)sinα = [(5(asinα + 3)^2 - 3asinαsqrt(25 + a^2sinα^2 + 6asinα))/(25 + a^2sinα^2 + 6asinα)]^(1/2) * sinα,

S = ah = a[(5*(asinα + 3)^2 - 3asinαsqrt(25 + a^2sinα^2 + 6asinα))/(25 + a^2sinα^2 + 6asinα)]^(1/2) * sinα.

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна a*[(5*(asinα + 3)^2 - 3asinαsqrt(25 + a