Question

Из точки отстоящей от плоскости на 4 см проведены две наклонные по углом 30 к плоскости угол между проекциями 120 Найти расстояние между основаниями наклонных

Answer 1

КА перпендикурно плоскости, КС и КВ наклонные, АС и АВ - проекции этих наклонных, уголАСК=уголАВК=30, уголВАС=120, треугольник АКВ=треугольникАКС как прямоугольные по катету КА-общий и противолежащему острому углу, АВ=АС, 
АС=КА/tg30=4(корень3/3)=4*корень3=АВ, ВС в квадрате ( расстояние между основаниями) =АВ в квадрате+АС в квадрате-2*АВ*АС*cos120=48+48-2*48*(-1/2)=3*48=144, ВС=12

Answer 2

Пусть точка, от которой проведены наклонные, находится на расстоянии h от плоскости. Тогда, согласно теореме Пифагора для треугольника, образованного наклонной, ее проекцией на плоскость и отрезком между проекциями наклонных, получаем:

$(h\cos 30)^2 + (4 - h\sin 30)^2 = l^2$

где $l$ - расстояние между основаниями наклонных.

Учитывая, что $\cos 30 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 30 = \frac{1}{2}$, упрощаем:

$(\frac{\sqrt{3}}{2}h)^2 + (4 - \frac{1}{2}h)^2 = l^2$

$\frac{3}{4}h^2 + 16 - 4h + \frac{1}{4}h^2 = l^2$

$h^2 - 16h + 48 = l^2$

Теперь нужно найти значение $l$. Для этого можно воспользоваться теоремой косинусов для треугольника, образованного наклонной, ее проекцией на плоскость и линией, соединяющей концы наклонных:

$l^2 = h^2 + (4 - h\sin 30)^2 - 2h\cos 30(4 - h\sin 30)\cos 120$

$l^2 = h^2 + (4 - \frac{1}{2}h)^2 - h(4 - \frac{1}{2}h)$

$l^2 = \frac{3}{4}h^2 - 6h + 16$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $l$:

$h^2 - 16h + 48 = l^2$ $l^2 = \frac{3}{4}h^2 - 6h + 16$

Можно решить ее, выразив $l$ из одного уравнения и подставив в другое:

$l^2 = h^2 - 16h + 48$

$\frac{3}{4}h^2 - 6h + 16 = h^2 - 16h + 48$

$\frac{1}{4}h^2 = 16$

$h^2 = 64$

$h = 8$ (так как $h$ - расстояние, оно не может быть отрицательным)

Теперь можем найти $l$:

$l^2 = h^2 - 16h + 48 = 64 - 128 + 48 = -16$

Заметим, что полученное значение $l^2$ отрицательно. Это означает, что невозможно построить треугольник, удовлетворяющий условию задачи. Ответ: не существ