Question

Вершины треугольника АВС лежат на окружности, диаметром которой является отрезок СВ. Прямая касается окружности в точке А и пересекает луч СВ в точке Т. Известно , что АТ=2 квадратных корней из 5см и длина отрезка СВ больше длины отрезка ВТ на 6 см.Вычислите площадь треугольника АВС?

Answer 1

Этот треугольник прямоугольный, т.к. его гипотенуза является диаметром окружности.
Площадь треугольника находим обычным способом

S=половина произведения высоты на основание.
Но мы не знаем ни высоты, ни основания треугольника АВС.
Соединим центр окружности с вершиной А треугольника АВС.
Примем радиусы окружности СО, ОВ, ОА равными х.
Тогда

диаметр СВ=2х, а ВТ=2х-6
СТ=ВТ+2х=(2х-6)+2х=4х-6
Отрезок ОТ=4х-6-х=3х-6
Из треугольника АОТ найдем по теореме Пифагора значение х:
АО²=ОТ²-АТ²
х²=(3х-6)²-(2,5)²
х²=9х²-36х+36 -20
8х²-36х+16=0
Решив квадратное уравнение, найдем
х=4. ( второй корень (-0,5) не подходит и по знаку, и по величине)
R=х=4,
диаметр окружности (гипотенуза треугольника АВС) равен 2R=8.
Так как ВС по условию задачи больше ВТ на 6 см,
ВТ=8-6=2 см
Треугольник АОТ - прямоугольный (по свойству касательной ), катеты в нем 4 и 2√5, гипотенуза равна ОВ+2=6
Необходимо найти высоту h этого треугольника, которая является высотой и треугольника АВС, чтобы ответить на основной вопрос задачи.
Обозначим точку высоты на ОТ буквой Н.
h=АО²-ОН² и h=АТ²- НТ²⇒ 4²-ОН²=20-(6-ОН)²
16 - ОН²=20 - 36+12ОН-ОН²
16-20+36=12ОН
12ОН=32 3ОН=8
ОН=8/3
h²=16 - 64/9
9h²=144 - 64=80
h²=80/9
h=√80/9=√(16*5/9)=(4√5):3
S АВС=0,5* 8*(4√5):3 =(16√5):3

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему о касательной и секущей, которая говорит, что квадрат длины касательной равен произведению длин секущей и ее внешней части. Мы можем применить эту теорему к точке А, чтобы получить отношение длин отрезков ВТ и ТС.

Пусть АВ = АС = a, а ВС = 2r - диаметр окружности, проходящей через точки А, В и С. Известно, что АТ = 2√5 см, а ВТ = x. Тогда мы можем записать:

x^2 = АТ * ТС (теорема о касательной и секущей для точки А) ТС = ВС - ВТ = 2r - x - 6 (по условию)

Подставляя выражение для ТС в первое уравнение, получим:

x^2 = АТ * (2r - x - 6) x^2 = 4√5 * (2r - x - 6) x^2 = 8√5r - 20√5 - 4√5x + 24√5 x^2 + 4√5x - 8√5r + 20√5 = 0

Решая это уравнение относительно x, получим:

x = (-4√5 ± 2√5) / 2 = -2√5 или 0

Так как длина ВТ должна быть положительной, то x = -2√5 отбрасывается, и мы получаем ВТ = 0. Это означает, что точки В и Т совпадают, и треугольник АВС является прямым углом в точке В.

Чтобы вычислить площадь треугольника, мы можем использовать формулу для прямоугольного треугольника:

S = (1/2) * АВ * ВС = (1/2) * a * (2r - a)

Так как ВТ = 0, то а = ВС, и мы можем записать:

S = (1/2) * a * (2r - a) = (1/2) * (2r - a) * a

Чтобы выразить a через известные данные, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника АВС:

а^2 + (2r - a)^2 = (2r)^2

а^2 + 4r^2 - 4ar + a^2 = 4r^2

2a^2 - 4ar = 0

a = 2r / √2 = r√2

Теперь мы можем вычислить площадь:

S = (1/2) * (2r - a) * a