Question

в треугольнике ABC CH-высота, AD-биссиктриса, O -точка пересечения прямых CH и AD угол BAD равен 12 градусам. Найдите угол AOC. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Если СН - высота, то треугольник АНС - прямоугольный. Угол Н = 90. Угол А = 24, т.к. АД - биссектриса. Значит, угол АСН равен 66. Теперь рассматриваем треугольник АОС. В нем угол АСО равен 66, угол ОАС равен углу ВАД = 12. Сумма углов треугольника = 180. Итого, угол АОС равен 180 - 12 - 66 = 102 градуса.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла: она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника. Таким образом, мы можем записать:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

где $BD$ и $DC$ - отрезки, на которые биссектриса $AD$ делит сторону $BC$.

Заметим, что треугольник $ACH$ является прямоугольным, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора:

$AC^2=AH^2+CH^2$

Так как точка $O$ является точкой пересечения прямых $AD$ и $CH$, то отрезки $AO$ и $CO$ также делятся биссектрисой пропорционально, то есть:

$\frac{AO}{CO}=\frac{AB}{CB}$

Используя формулу для тангенса разности углов, мы можем выразить тангенс угла $AOC$ через известные нам углы и отношения длин сторон:

$\tan{\angle AOC}=\tan{(180^\circ-\angle BAC-\angle BCA)}=\frac{\tan{\angle BAC}-\tan{\angle BCA}}{1+\tan{\angle BAC}\tan{\angle BCA}}$

Таким образом, мы можем сформулировать задачу следующим образом: найти угол $AOC$, используя известные значения угла $BAD$ и отношений длин сторон треугольника $ABC$.

Решим задачу, используя формулы и соотношения, полученные выше.

Из угла $BAD=12^\circ$ следует, что угол $BAC=2\cdot12^\circ=24^\circ$, так как $AD$ является биссектрисой угла $BAC$. Также из свойств биссектрисы следует, что:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD+AD}{DC+AD}=\frac{BC}{AC}$

Отсюда получаем уравнение:

$\frac{BD}{DC}=\frac{BC}{AC}-1=\frac{AH^2}{AC^2}$

Подставим известные значения:

$\frac{BD}{DC}=\frac{BC}{AC}-1=\frac{CH^2}{AH^2+CH^2}-1=\frac{CH^2-AH^2}{AH^2+CH^2}$

Используем теперь формулу для тангенса разности углов, чтобы выразить тангенс угла $AOC$ через известные значения