Question

Дана равнобедренная трапеция с острым углом 60 градусов и большим основанием, равным 24. Прямая, проходящая через вершину острого угла и центр вписанной окружности, делит трапецию на чтырёхугольник и треугольник. Найдите площадь полученного треугольника.

Answer 1

Обозначим трапецию АВСД. Стороны Х и У. Поскольку в трапецию можно вписать окружность-сумма боковых сторон =сумме оснований. Отсюда два уравнения из которых находим Х и У.Далее высоту Н=2R. Поскольку угол АОК=30 градусов а угол АДМ=60 градусов, то треугольник АМД-прямоугольный. О-центр вписанной окружности, но раз  ОМ перпендикулярно СД, значит ОМ-радиус. Тогда из равенства треугольников ОКД и ОМД (по катету и гипотенузе) находим МД=12. Затем АМ и окончательный ответ S амд=72 корня из 3.

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства равнобедренных трапеций.

Обозначим вершину острого угла трапеции как A, а центр вписанной окружности как O. Продолжим прямую AO до пересечения с противоположной стороной трапеции и обозначим это пересечение как B.

Поскольку трапеция равнобедренная, то отрезок AO является медианой и высотой треугольника ABO. Таким образом, точка O делит высоту треугольника пополам, и мы можем обозначить половину высоты как h.

Также из свойств равнобедренных трапеций известно, что биссектриса угла при основании делит его на две равные части. Поэтому отрезок OB также является биссектрисой угла B в треугольнике ABO.

Теперь мы можем заметить, что треугольник ABO является равнобедренным, так как угол ABO равен 60 градусам (в силу условия) и угол AOB равен 180 - 60 - 60 = 60 градусов.

Поскольку треугольник ABO равнобедренный, мы можем найти площадь этого треугольника, используя формулу S = (1/2) * a * h, где a - длина основания треугольника, а h - высота.

В данном случае, основание треугольника ABO равно 24 (большее основание трапеции), а высота h равна половине высоты треугольника ABO (половина отрезка AO).

Таким образом, площадь треугольника ABO равна: S = (1/2) * 24 * (h/2) = 12 * (h/2) = 6 * h.

Теперь нам нужно найти значение h, половину высоты треугольника ABO.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, применимой к прямоугольному треугольнику AOB. Так как треугольник равнобедренный, то его основание равно 24, а каждая из боковых сторон равна h.

Применяя теорему Пифагора, получаем: (24/2)^2 + h^2 = 24^2.

Упрощая это уравнение, получаем: 12^2