Question

В окружности с центром О провели диаметры MN и PK.Докажите,что MK//PN

Answer 1

1)Так как диаметры одной окружности всегда равны, а точка О является их центром, значит МО = ОN, РО=ОК. 2) Углы МОК и РОN - вертикальные, значит, они равны. Из всего этого следует, что два этих треугольника равны( по первому признаку равенства треугольников). 3) Угол N и угол М - накрест лежащие при прямых MK и PN. А так как треугольники МОК и PON равны, значит и все их углы равны, то есть накрест лежащие углы равны, а если они равны, то прямые МК и PN параллельны.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится свойство окружности, согласно которому любые два диаметра перпендикулярны друг другу. Из этого свойства следует, что отрезки MK и PN являются высотами прямоугольных треугольников МОК и ОПН соответственно.

Так как эти треугольники прямоугольные и имеют общий угол в точке О, то они подобны по трем углам. Из этого следует, что отношение длин отрезков MK и ОК равно отношению длин отрезков ОП и PN:

MK/OK = OP/PN

Так как ОК = PN (по свойству окружности), то мы можем переписать это равенство следующим образом:

MK/ PN = OP/OK

Но мы знаем, что OP = OK (по определению диаметра). Поэтому мы можем заменить OP на OK в последнем равенстве:

MK/PN = OK/OK

MK/PN = 1

Отсюда следует, что MK и PN параллельны друг другу, так как отношение их длин равно 1.