Question

Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45 градусов. Объем призмы равен 108 см3. Найдите площадь полной поверхности призмы.

Answer 1

Высота призмы h; a - катеты прямоугольного треугольника в основании, c - гипотенуза прямоугольного треугольника. 

$V=108 sm^3\\S_{p.p.}=2S_{osn}+h(2a+c)=2*\frac{1}{2}^2b+h(2a+c)=\\=a^2+h(2a+c)\\V=\frac{1}{2}a^2h=\ \textgreater \ h=\frac{2V}{a^2}=\frac{216}{36}=6\\c=a\sqrt2=6\sqrt2\\S_{p.p.}=36+6(12+6\sqrt2)=36+36(2+\sqrt2)=36(3+\sqrt2)$

Answer 2

Для начала, найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника основания:

$a^2 + b^2 = c^2$

$6^2 + 6^2 = c^2$

$72 = c^2$

$c = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

Здесь $a = b = 6$ - катеты треугольника, $c$ - гипотенуза.

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, нужно найти периметр основания, который равен:

$P = 2a + c = 2\cdot6 + 6\sqrt{2} = 12 + 6\sqrt{2}$

Затем, площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

$S_{бок} = Ph = (12 + 6\sqrt{2})\cdot h$

где $h$ - высота призмы. Высота призмы находится из формулы для объема призмы:

$V = Sh = \frac{1}{2}ab\cdot h = 108$

$a = b = 6$, поэтому:

$h = \frac{108}{18} = 6$

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = (12 + 6\sqrt{2})\cdot6 = 72 + 36\sqrt{2}$

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, нужно добавить к площади боковой поверхности площади двух оснований призмы. Каждое основание представляет собой прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 6$\sqrt{2}$ см, поэтому площадь каждого основания равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}\cdot6\cdot6\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

Таким образом, площадь полной поверхности призмы равна:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2\cdot18\sqrt{2} + 72 + 36\sqrt{2} = 90 + 54\sqrt{2} \approx 148.9$ см$^2$ (округляем до десятых).

Ответ: площадь полной поверхности призмы составляет примерно 148.9 квадратных сантиметров.