Question

Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины тупого угла , делит большее основание трапеции на отрезки 2см и 7 см . Найдите основания трапеции

Answer 1

Большое основание: 2см+7см=9см
Маленькое основание: 7см-2см=5см

Answer 2

Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a$ - меньшее основание, а $b$ - большее основание. Пусть высота, проведенная из вершины тупого угла, равна $h$.

Из условия задачи мы знаем, что высота $h$ разбивает большее основание $b$ на отрезки длины $2$ см и $7$ см. Значит, мы можем записать уравнение:

$b=2+7=9\text{ см}$

Осталось найти меньшее основание $a$. Обозначим точку пересечения высоты $h$ с меньшим основанием $a$ через $O$:

<img src="https://i.imgur.com/iXpvgMv.png" width="250">

Так как трапеция равнобокая, то отрезки $OA$ и $OB$ равны между собой:

$OA=OB$

Кроме того, мы знаем, что высота $h$ является медианой треугольника $AOB$. Поэтому отрезок $OH$ равен половине отрезка $AB$:

$OH=\frac{1}{2}AB$

Мы также знаем, что высота $h$ является биссектрисой угла $AOB$, поэтому:

$\frac{OH}{OA}=\frac{BH}{BA}$

Из этого уравнения мы можем выразить $OA$ через $BA$:

$OA=\frac{BH}{BA}\cdot OH$

Заменим $OH$ на $\frac{1}{2}AB$:

$OA=\frac{BH}{BA}\cdot \frac{1}{2}AB$

Так как $BH=h$, а $BA=a+b$, то:

$OA=\frac{h}{a+b}\cdot \frac{1}{2}AB$

Из подобия треугольников $AOH$ и $BOH$ мы знаем, что:

$\frac{OH}{BH}=\frac{OA}{AB-OA}$

Заменим $OH$ на $\frac{1}{2}AB$:

$\frac{1}{2}AB\cdot\frac{1}{h}=\frac{OA}{AB-OA}$

Решим это уравнение относительно $OA$:

$OA=\frac{AB\cdot\frac{1}{2}h}{\frac{1}{2}AB+h}=\frac{h}{\frac{1}{2}+\frac{h}{AB}}$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $OA$:

$\frac{h}{a+b}\cdot \frac{1}{2}AB=\frac{h}{\frac{1}{2}+\frac{h}{AB}}$

Разрешим это уравнение относительно $a$:

$$$$