Question

ПОМОГИТЕ СРОЧНО!!!!!!!!!!1 ПОЖАЛУЙСТА! Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. площадь меньшего круга равна 3 см. Найдите площадь треугольника

Answer 1

A3-сторона правильного треугольника
S=pir^2=3; r^2=3/pi; r =√(3/pi)
r=a3/(2√3)=√(3/pi)
a3=6/√pi
S1=(a3)^2*sin60/2=(6/√pi)^2*√3/4=9√3/pi=5
Ответ S1≈5

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуются некоторые свойства окружностей и правильных треугольников.

Пусть ABC - правильный треугольник, описанная окружность его описана окружностью O1 радиуса R, а вписанная окружность - окружностью O2 радиуса r. Тогда мы знаем, что R = AB/2, r = R/2 и площадь треугольника ABC равна S = AB^2 * √3 / 4.

Для начала найдем радиусы окружностей. Пусть r1 и r2 - радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно. Так как треугольник ABC - правильный, то центр описанной окружности O1 совпадает с центром окружности O2. Таким образом, отрезок, соединяющий центр окружности O2 с точкой касания с стороной AB, является высотой треугольника ABC. Значит, r2 = h = AB * √3 / 2.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный сторонами AB, радиусами описанной и вписанной окружностей. Этот треугольник также является правильным, так как каждый угол равен 60 градусам. Обозначим точки касания описанной и вписанной окружностей с стороной AB как D и E соответственно.

Так как DE является медианой треугольника ABC, то она делит сторону AB пополам. Значит, AD = DB = AB / 2 = R, а AE = EB = AB / 2 - r2 = R - AB * √3 / 2. Из этого следует, что DE = R - r2 = AB * √3 / 2.

Теперь мы можем найти радиус описанной окружности r1 с помощью теоремы Пифагора:

r1^2 = (R - DE)^2 + (AB/2)^2 = (R - AB * √3 / 2)^2 + (AB/2)^2.

Заметим, что AB = 2R, поэтому выражение упрощается:

r1^2 = (R - R * √3 / 2)^2 + R^2 = R^2 * (1 + (1/4 - √3/2)^2) = R^2 * (7/4 - √3/2).

Мы знаем, что площадь меньшего круга равна 3 см, поэтому:

πr2^2 = 3.

Выразим R через r2:

R =