Question

Четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность с центром O. Найдите расстояние от точки O до стороны AB, если известно, что CD = 8.

Answer 1

//////////////////////////////////////////////////////////////////////

Answer 2

Рассмотрим треугольник AOB, где O - центр окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD, и AB - хорда этой окружности. Так как диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AB является диаметром описанной окружности, и значит, треугольник AOB - прямоугольный.

Пусть точка M - середина стороны AB. Тогда OM - медиана треугольника AOB, и она же является высотой, опущенной на сторону AB. Так как OM перпендикулярна AB, то угол OMD также прямой.

Заметим, что треугольники AOM и BOM подобны треугольнику OCD по двум углам, так как углы OAM и OBM - прямые, а углы AOM и BOM - равны между собой и равны углу OCD, так как это соответственные углы при параллельных прямых AO и BO. Значит, соотношение сторон в этих треугольниках будет следующим:

$$\frac{AM}{OC} = \frac{OC}{BM} \Rightarrow AM \cdot BM = OC^2$$

Заменим AM на половину стороны AB:

$$\frac{AB}{2} \cdot BM = OC^2 \Rightarrow BM = \frac{4OC^2}{AB}$$

Также заметим, что треугольник OMD подобен треугольнику OCD по двум углам, так как углы OMD и OCD - прямые, а угол ODM равен углу ODC по тому же соответственному углу при параллельных прямых OM и CD. Значит, соотношение сторон в этих треугольниках будет следующим:

$$\frac{OM}{OC} = \frac{OC}{DM} \Rightarrow OM \cdot DM = OC^2$$

Заменим DM на разность половин диагоналей четырехугольника:

$$\frac{AB}{2} - DM = \frac{AB}{2} - \frac{CD}{2} = \frac{AB - CD}{2} = \frac{AD}{2}$$

Тогда получаем:

$$OM \cdot \frac{AD}{2} = OC^2 \Rightarrow OM = \frac{2OC^2}{AD}$$

Теперь можем выразить расстояние от точки O до стороны AB, которое равно длине высоты OM:

h = OM = \frac{2OC^2}{AD} = \frac{2OC^2}{\sqrt{AB^2 - CD