Question

В параллелограмме ABCD,AD =20 см, а AB=BD, BK- высота треугольника ABD. Определите среднюю линию трапеции KBCD.

Answer 1

1. Рассмотрим треугольник АВД. Так как АВ=ВД, треугольник АВД является равнобедренным. Отсюда, ВК - медиана.

КД=АК=АД:2=10 см

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, т.е., (20+10):2=15 (см)

Ответ. 15 см.

Answer 2

Из условия известно, что AB = BD, следовательно, треугольник ABD является равнобедренным. Кроме того, BK является высотой этого треугольника.

Для нахождения средней линии трапеции KBCD необходимо сначала найти её высоту. Рассмотрим треугольник BCD. Из свойств параллелограмма следует, что BC = AD = 20 см. Также, так как AB = BD, то треугольник ABD является равнобедренным, что означает, что угол ABD равен углу BAD.

Таким образом, треугольники ABD и BCD подобны друг другу по двум углам, их гипотенузы равны 20 см, а катеты AB и BC также равны друг другу. Следовательно, BC = AB = BD = 10 см.

Высота треугольника BCD, опущенная на сторону CD, разделяет её на две части, каждая из которых является основанием соответствующих треугольников. Пусть H - точка пересечения высоты с CD. Тогда HC = HD = 10 см, а BH = CD - HC = CD - HD = CD - 10 см.

Теперь можно найти высоту треугольника KBC относительно основания BC. Обозначим её через h. Так как треугольник KBD подобен треугольнику BCD, то соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: BD/BC = BK/h. Из этого следует, что h = BC × BK / BD = 10 × BK / 10 = BK.

Таким образом, средняя линия трапеции KBCD равна среднему арифметическому её оснований: (KC + BD) / 2. Так как BC = 10 см, то KC = CD - KD = CD - BK. Итак, KC + BD = (CD - BK) + 2 × BD = CD + BD - BK. Осталось заметить, что CD + BD = BC + BC = 20 см, и тогда (KC + BD) / 2 = (20 - BK) / 2 = 10 - BK/2.

Таким образом, средняя линия трапеции KBCD равна 10 - BK/2. Осталось только найти длину отрезка BK. Для этого заметим, что треугольник ABD равнобедренный, поэтому угол ADB равен половине угла BDA. Но угол BDA яв