Question

Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук? решите пожалуйста как можно подробнее)

Answer 1

Пусть наш куб   $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ имеет длину ребра  $1$ ,  середина точка  $N$ ,  $N \in A_{1}D_{1}$ так как самая удаленная вершина всегда будет симметрична , какую  бы точку не взять на  середине   ребра данного куба , рассмотрим когда точка лежит , на ребре  $A_{1}D_{1}$  
Теперь надо понять как он должен двигаться , с начало в какую сторону  , видно  что  самое удаленная вершина это  точка  $B$ , так же и другая есть симметричная  ей   $C$ , но будет рассматривать  $B$ . 
так как    $AB$   то есть можно не рассматривать вариант когда паук ползет в сторону  $DD_{1}$ , рассмотрим вариант  когда он ползет к стороне   $AA_{1}$ ,  когда паук ползет  к вершине  $A_{1}- >B$ , очевидно что расстояние    равно   $\frac{1}{2}+\sqrt{2}=\frac{1+\sqrt{8}}{2}$ , пусть есть некая точка  $x$ , которая принадлежит   $AA_{1}$,   по неравенству треугольников   $\frac{1}{2} + A_{1}x > Nx$   
  выразим расстояние , когда паук ползет через точку $x$
  она равна     $A_{1}x=y\\ \sqrt{y^2+\frac{1}{2}^2 } + \sqrt{ (1-y)^2+1}$ 
   получили функцию   $\frac{\sqrt{ 4y^2+1}}{2 } + \sqrt{ 2-2y+y^2 }$ 
 которая имеет критическую точку  $y=\frac{1}{3}$  (находится через производную )  ,  минимум  $f(\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{13}}{2}$ , что меньше  выше сказанного расстояния  
  Ответ  Паук должен с начало придти к   $A_{1}x$ , потом   к  $B$     это есть кратчайшее расстояние  
 

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться геометрическим подходом.

Для начала определим координаты паука и мухи. Пусть длина ребра куба равна $a$, тогда координаты паука будут $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$, а координаты мухи - $(a, a, a)$.

Для того, чтобы паук достиг мухи, ему необходимо двигаться по кратчайшему пути. Рассмотрим три оси, параллельные граням куба, и разделим путь на три отрезка, соответствующих перемещению паука по каждой из осей.

Так как паук всегда двигается по кратчайшему пути, то он должен двигаться по диагонали грани куба. Рассмотрим плоскость, проходящую через центр куба и соединяющую паука и муху. Эта плоскость делит куб на две части. Паук должен пересечь эту плоскость, двигаясь по диагонали грани, чтобы достичь мухи.

Таким образом, путь, по которому должен двигаться паук, можно разбить на три отрезка. Первый отрезок - это пройти по диагонали грани куба из точки $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ в точку $(a, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$. Второй отрезок - это пройти по диагонали грани куба из точки $(a, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ в точку $(a, a, \frac{a}{2})$. И третий отрезок - это пройти по диагонали грани куба из точки $(a, a, \frac{a}{2})$ в точку $(a, a, a)$.

При этом, на каждом отрезке паук должен двигаться по диагонали грани куба. Длина каждого отрезка равна $a\sqrt{2}$, а длина всего пути равна $3a\sqrt{2}$.

Таким образом, чтобы поймать муху, паук должен двигаться по диагонали грани куба и пройти три отрезка длины $a\sqrt{2}$, начиная свой путь из точки $(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$ и заканчивая в точке $(a, a, a)$.