Question

Точка F делит сторону ВС параллелограмма АВСD на две равные части, точка Е делит сторону AD параллелограмма в отношении 1:3. Найти отношение, в котором прямая EF делит площадь параллелограмма ABCD.

Answer 1

я написал краткое решение на листочке ===>>

Answer 2

Обозначим $M$ и $N$ точки пересечения прямой $EF$ с сторонами $AB$ и $CD$ соответственно. Так как $EF\parallel BC$, то $\triangle EMN\sim\triangle ABC$. Также заметим, что $EF$ является средней линией треугольника $AMD$, поэтому $EN=\frac{1}{2}AD$. Тогда, так как $AE:ED=1:3$, то $AN:ND=1:3$.

Пусть $S$ — площадь параллелограмма $ABCD$. Тогда площадь треугольника $ABN$ равна $\frac{1}{4}S$, а площадь треугольника $DCN$ равна $\frac{3}{4}S$. Так как $\triangle EMN\sim\triangle ABC$, то отношение площадей треугольников $EMN$ и $ABN$ равно отношению площадей $\triangle ABC$ и $\triangle ABN$, то есть $\frac{[EMN]}{[ABN]}=\frac{EN}{AN}=\frac{1}{4}$. Аналогично, отношение площадей треугольников $EMN$ и $DCN$ равно отношению площадей $\triangle ABC$ и $\triangle DCN$, то есть $\frac{[EMN]}{[DCN]}=\frac{EN}{DN}=\frac{1}{2}$.

Сложив эти два равенства, получим $\frac{[EMN]}{S}=\frac{1}{8}$. Так как треугольник $EMN$ является средним треугольником параллелограмма $ABCD$, то его площадь равна половине площади параллелограмма, то есть $[EMN]=\frac{1}{2}S$. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем $\frac{1}{2S}S=\frac{1}{8}$, откуда $S=\boxed{16[EMN]}$.