Question

1)Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции с ее основаниями равны 9 и 16. Найдите площади трапеции. 2)Основание AB трапеции ABCD вдвоем длиннее основания CD и вдвоем длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали равна 4, а длина боковой стороны BC равна 3. Найдите площадь трапеции. Помогите пожалуйста, с рисунком и подробным решением

Answer 1

  Cos20093 главный мозг ответил 01.04.2012 задача решается дополнительным построением, которое полезно запомнить.пусть трапеция АВСD. АС = 3; ВD = 5; AD и ВС - основания.Через точку C проводим прямую II BD до пересечения с продолжением AD. Точка пересечения - E. Площадь треугольника ACE равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковая средняя линяя, поскольку АЕ = AD + BC.Отрезок, соединяющий середины оснований, проходит через точку пересечения диагоналей О. Собственно, из подобия АОD и BOC следует, что медианы из точки О в обоих треугольниках составляют одинаковые углы с основаниями, то есть  это - одна прямая, соединяющая середины оснований. Треугольник  АСЕ тоже подобен  АОD и BOC, и поэтому медиана в нем II этому отрезку. А значит, она ему равна (там получился параллелограмм, образованный медианой СМ треугольника ACE,  отрезком, соединяющим середины оснований и отрезками оснований) :). Итак, Площадь треугольника ACE равна площади трапеции, и в АСЕ известны 2 стороны 3 и 5 и медиана 2.  Продолжим медиану СМ за её основание М на 2 и соединим полученную точку Р с A и Е. Получим параллелограмм ACEP (потому что диагонали делятся пополам в точке пересечения). Ясно из свойств параллелограма что площадь АСЕ = площадь CPE.СРЕ - треугольник с заданными сторонами СЕ = BD = 5, PЕ = AC = 3, СР = 2*CM = 4.Найти его площадь в общем случае можно по формуле Герона, но тут все просто - треугольник СРЕ прямоугольный (это просто следствие того что 9 + 16 = 25), и его площадь S = (1/2)*3*4 = 6. Удивительно, ввел решение, и увидел, что задачу решили так же как и я :)))) это приятно

Answer 2

1. Обозначим основания трапеции как $a$ и $b$, а диагонали как $p$ и $q$. По условию задачи, площади треугольников, образованных отрезками диагоналей и оснований трапеции, равны 9 и 16, то есть:

$\frac{1}{2}ap = 9 \quad \text{и} \quad \frac{1}{2}bq = 16$

Заметим, что сумма оснований трапеции равна $a+b$, а сумма ее диагоналей равна $p+q$. Рассмотрим треугольник, образованный диагоналями и одним из оснований трапеции, например, треугольник $APD$, где $P$ - точка пересечения диагоналей:

<img src="https://i.imgur.com/5g6GfYn.png" width="200">

Из этого треугольника мы можем выразить одно из оснований через диагонали:

$a = 2\frac{pq}{p+q}$

Аналогично, для другого треугольника $BPQ$, где $Q$ - точка пересечения диагоналей, получим:

$b = 2\frac{pq}{p+q}$

Таким образом, мы нашли выражения для обоих оснований трапеции через ее диагонали. Подставим их в формулу для площади трапеции:

$S = \frac{1}{2}(a+b)h = \frac{1}{2}(2\frac{pq}{p+q}+2\frac{pq}{p+q})h = \frac{pqh}{p+q}$

Осталось выразить $h$ через заданные площади треугольников. Для этого заметим, что треугольники $ABP$ и $CDQ$ подобны треугольникам $APD$ и $BCQ$ соответственно:

<img src="https://i.imgur.com/pjsO8B8.png" width="250">

Таким образом, отношения их высот равны отношениям соответствующих сторон:

$\frac{h}{\frac{1}{2}p} = \frac{\frac{1}{2}b}{\frac{1}{2}q} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{b}{q}p$

Аналогично:

$\frac{h}{\frac{1}{2}q} = \frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}p} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{a}{p}q$

Подставим эти выражения для $h$ в формулу для площади трапеции:

$$$$