Question

Диагонали прямоугольника CDEF пересекаются в точке K. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 28 см, а периметры треугольников CDK и DEK равны 16 см и 18 см.

Answer 1

P(DKC) = CD + CK + DK
P(DKE) = DE + KE + DK
как видно, и в том, и в другом периметре фигурирует сторона DK, а CK = KE = DK. Найдем сторону DK. Диагональ СЕ делит прямоугольник на два треугольника. Периметр треугольника CDE = периметру треугольника CEF = половине периметра прямоугольника CDEF = 28/2 = 14 cм. В свою очередь, периметр CDE равен также сумме периметров DKC и DKE минус 4DK, т.е
14 = 16 + 18 - 4DK
4DK = 16 + 18 - 14
DK = 5 см
Диагонали, при пересечении друг с другом, делятся пополам и образуют равнобедренные треугольники, значит DK = CK = КЕ = КF = 5 см.
Теперь находим стороны прямоугольника.
DС = ЕF = 16 - 5 - 5 = 6 см
DE = CF = 18 - 5 - 5 = 8 см
Проверка: Р(CDEF) = (6 + 8) * 2 = 28 см

Answer 2

Обозначим стороны прямоугольника как $CD=a$ и $DE=b$, а диагонали $CK=x$ и $EK=y$.

Периметр прямоугольника равен $2(a+b)$, и мы знаем, что он равен 28 см. Таким образом, мы получаем уравнение:

$2(a+b)=28\text{ см}\Rightarrow a+b=14\text{ см}$

Периметр треугольника $CDK$ равен $CD+CK+x=a+x+16\text{ см}$. Также мы знаем, что диагонали пересекаются в точке $K$, поэтому треугольники $CDK$ и $DEK$ подобны. Это означает, что:

$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\Rightarrow y=\frac{bx}{a}$

Теперь мы можем выразить периметр треугольника $DEK$ через $b$, $y$ и $EK$:

$DE+EK+y=b+EK+\frac{bx}{a}=18\text{ см}$

Мы знаем, что $a+b=14$, так что можем выразить $b$ через $a$:

$b=14-a$

Теперь мы можем подставить это выражение для $b$ в уравнение для периметра треугольника $DEK$:

$(14-a)+EK+\frac{a}{x}(EK)=18\text{ см}$

Мы также можем заметить, что $x+EK$ является длиной диагонали прямоугольника. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $CDE$, получаем:

$a^2+b^2=x^2+y^2$

$a^2+(14-a)^2=x^2+\left(\frac{bx}{a}\right)^2$

$2a^2-28a+196=x^2+\frac{b^2x^2}{a^2}$

$2a^4-28a^3+196a^2=x^2a^2+b^2x^2$

$2a^4-28a^3+196a^2=x^2a^2+(14-a)^2x^2$

$2a^4-28a^3+196a^2=x^2(a^2+(14-a)^2)$

$2a^4-28a^3+196a^2=x^2(2a^2-28a+196)$

$x^2=\frac{2a^4-28a^3+196a^2}{2a^2-28a+196}=\frac{a^2-14a+49}{2-a}=\frac{(a-7)^2}{2-a}+9$

Теперь мы можем использовать это выражение для $x^2$ и уравнение для периметра треугольника $DEK$, чтобы решить систему уравнений:

$