Question

Найти уравнение окружности k, центр S которой лежит на прямой p: x+3y-18=0, имеющей радиус r 5 и проходящий через точку A(6;9)

Answer 1

Уравнение окружности А радиусом 5 с центром в точке А(6;9)
(x-6)² +  (y - 9)² = 5²
Точка S лежит на прямой р
x + 3y - 18 = 0
3y = 18 - x
y = 6 - x/3
Найдём пересечения прямой и окружности А
(x-6)² +  (6 - x/3 - 9)² = 5²
(x-6)² +  (- x/3 - 3)² = 5²
(x-6)² +  (x/3 + 3)² = 5²
x² - 12x +36 +x²/9 +2x + 9 = 25
10x²/9 - 10x + 20 = 0
x²/9 - x + 2 = 0
x² - 9x + 18 = 0
Дискриминант
D = 81 - 4*18 = 81 - 72 = 9 = 3²
x₁ = (9 - 3)/2 = 3
y₁ = 6 - x₁/3 = 6 - 3/3 = 5
x₂ = (9 + 3)/2 = 6
y₂ = 6 - x₂/3 = 6 - 6/3 = 4
Двум точкам пересечения соответствуют две возможные окружности S
S₁(3;5)
(x - 3)² +  (y - 5)² = 5²
S₂(6;4)
(x - 6)² +  (y - 4)² = 5²

Answer 2

Для нахождения уравнения окружности, центр которой лежит на прямой p и проходит через точку A(6,9), мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем координаты центра окружности S, который лежит на прямой p. Для этого воспользуемся свойством перпендикулярности: вектор, направленный от центра окружности до точки A, должен быть перпендикулярен вектору, направленному по нормали прямой p. Нормальный вектор прямой p: n = (1, 3) (коэффициенты при x и y соответственно). Вектор от центра окружности до точки A: v = (6 - x, 9 - y). Учитывая их перпендикулярность, произведение их скалярных произведений должно быть равно нулю: n · v = 0 (1, 3) · (6 - x, 9 - y) = 0 (6 - x) + 3(9 - y) = 0 6 - x + 27 - 3y = 0 33 - x - 3y = 0 -x - 3y = -33

   Получили уравнение прямой, на которой лежит центр окружности S.

2. Теперь найдем уравнение окружности k с центром S и радиусом r = 5. Общий вид уравнения окружности: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, где (h, k) - координаты центра окружности, r - радиус.

   Используя найденное уравнение прямой -x - 3y = -33, мы можем заменить x и y в уравнении окружности соответствующим образом: (-x - 3y - 33)^2 + (y - k)^2 = 5^2

   Таким образом, окончательное уравнение окружности k с центром S, лежащим на прямой p и проходящим через точку A(6,9), будет иметь вид: (-x - 3y - 33)^2 + (y - k)^2 = 25