Question

Прямая, Проходящая Через Вершину А Треугольника АВС И Делящая Медиану ВМ В Отношении1:4, Считая От Вершины, Пересекает Сторону ВС В Точке К. Найдите Отношение Площадей Треугольников ВОК И АВС, Где О – Точка Пересечения АК И ВМ

Answer 1

    Прямая, проходящая через вершину А треугольника АВС и делящая медиану ВМ в отношении 1:4, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников ВОК и АВС, где О – точка пересечения АК и ВМ.

                        *  *  *

 Проведем МТ║АК. Треугольники ВОК и ВМТ подобны по общему углу В и соответственным углам при пересечении их параллельных оснований секущими ( боковыми сторонами). ВК:КТ=ВО:ОМ=1:4.  Для треугольника АКС отрезок МТ - средняя линия. Поэтому СТ=КТ=4 части, ⇒ ВС=ВК+КТ+ТС=9 частей.

 Примем S(АВС)=1. Так как медиана треугольника делит его на два равновеликих, то Ѕ(ВМС)=1/2. Ѕ(ВМТ)=5/9 от Ѕ(ВМС). Ѕ(ВМТ)=(1/2):9•5==5/18 от площади АВС.

Треугольники МВТ и ОВК подобны. k=ВК:ВТ=1/5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. ⇒ Ѕ (ВОК):Ѕ(ВМТ)=k²=1/25.  Ѕ(ВОК)=5/18•1/25=1/90 от Ѕ(АВС). Отношение площадей треугольников ВОК и АВС равно 1:90

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся некоторые свойства медиан треугольника.

1. Медиана треугольника делит сторону пополам.

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника с равными площадями.

Используя эти свойства, мы можем найти отношение сторон треугольника АВС и треугольника ОВК.

Обозначим точку пересечения медианы ВМ и отрезка АК за О. Поскольку медиана ВМ делится в отношении 1:4, то отношение длины ВО к длине ОМ также равно 1:4.

Так как медиана делит сторону на две равные части, то ВМ = 2МО.

Значит, ВО = 2МО = ВМ / 2.

Рассмотрим треугольник АВС. Медиана ВМ пересекает его в точке О. По свойству медианы треугольника, точка О делит сторону АС в отношении 1:1.

Значит, АО = ОС = 1/2 AC.

Теперь рассмотрим треугольник ОВК. Он получен пересечением медианы ВМ и стороны ВС треугольника АВС. По свойству медианы треугольника, точка О делит медиану ВМ в отношении 1:4. Значит, ОВ = ВМ / 5.

Теперь мы можем выразить отношение площадей треугольников ВОК и АВС через отношение их высот.

Пусть h1 и h2 – высоты треугольников ВОК и АВС соответственно.

Тогда отношение площадей треугольников ВОК и АВС равно отношению их высот:

S(ВОК) / S(АВС) = h1 / h2.

Высота h2 треугольника АВС, проведенная к стороне ВС, равна h2 = AC * sin(∠A)/2.

Высота h1 треугольника ВОК, проведенная к стороне ВК, равна h1 = ОВ * sin(∠ВОК) = (ВМ / 5) * sin(∠ВОК).

Таким образом, отношение площадей треугольников ВОК и АВС равно:

S(ВОК) / S(АВС) = (ВМ / 5) * sin(∠ВОК) / (AC * sin(∠A)/2).

Заметим, что