Question

M,N,K- середины сторон AB, BC и AC треугольника ABC ,CK = a, CN = b. а) Выразите векторы CM, AB, AN через векторы a и b. б)Докажите с помощью векторов ,что KN||AB.

Answer 1

А)
MN║AC как средняя линия треугольника, MN = AC/2 = KC, ⇒ KMNC - параллелограмм, значит
↑СМ = ↑СК + ↑CN = ↑a + ↑b

↑АВ = ↑СВ - ↑СА = 2↑b - 2↑a

↑AN = ↑AC + ↑b = - 2↑a + ↑b

б)
↑KN = ↑b - ↑a
↑AB = 2↑b - 2↑a = 2(↑b - ↑a)  = 2↑KN - значит KN║AB

Answer 2

а) Найдем векторы CM, AB и AN:

Пусть O - точка пересечения медиан треугольника ABC (центр тяжести), тогда вектор CM можно найти как разность векторов CO и OM: CM = CO - OM = (1/3) (OA + OB + OC) - (1/2) (OA + OB) = (1/6) (OA + 2OB - OC)

Также, поскольку точка N является серединой отрезка BC, то вектор AN можно найти как сумму векторов AB и BN: AN = AB + BN = AB + BC/2

Наконец, вектор AB очевидно равен разности векторов AO и OB: AB = AO - OB = (1/3) (OA + OB + OC) - (1/3) (OA + OB - OC) = (1/3) (2OB - OA + OC)

б) Чтобы доказать, что KN || AB, достаточно показать, что соответствующие им векторы коллинеарны.

Найдем векторы KN и AB и посмотрим, равны ли они или коллинеарны. Так как точка N - середина отрезка BC, то вектор KN можно найти как сумму векторов KM и MN: KN = KM + MN = (1/2) CM + (1/2) CN = (1/12) (2OA + 4OB - 2OC + 2a + 2b)

Также мы уже выразили вектор AB через векторы OA, OB и OC: AB = (1/3) (2OB - OA + OC)

Умножим вектор AB на 2 и выразим его через векторы OA, OB и OC: 2AB = (4OB - 2OA + 2OC) / 3

Теперь заметим, что вектор KN и 2AB равны с точностью до множителя: (1/12) (2OA + 4OB - 2OC + 2a + 2b) = (1/6) (2OB - OA + OC) = (2/3) AB

Получаем, что вектор KN и 2AB коллинеарны (они отличаются только множителем), что и означает, что KN || AB.