Question

В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB в 5 раз длиннее радиуса вписанной окружности, меньший катет BC равен 6. Найти расстояние между центром вписанной окружности в треугольник ABC и центром описанной около него окружности.

Answer 1

Решение смотри в файле

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулами, связывающими радиусы вписанной и описанной окружностей с сторонами треугольника.

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а радиус описанной окружности равен R.

Известно, что гипотенуза AB в 5 раз длиннее радиуса вписанной окружности: AB = 5r.

Также известно, что меньший катет BC равен 6.

Мы можем применить формулу для радиуса вписанной окружности, связанную с площадью треугольника: r = sqrt((p - a)(p - b)(p - c) / p),

где a, b, c - стороны треугольника, p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c) / 2).

В нашем случае a = BC = 6, b = AB = 5r и c - гипотенуза, которую мы можем найти с использованием теоремы Пифагора: c = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(6^2 + (5r)^2) = sqrt(36 + 25r^2).

Теперь мы можем выразить полупериметр p и подставить его в формулу для радиуса вписанной окружности: p = (a + b + c) / 2 = (6 + 5r + sqrt(36 + 25r^2)) / 2.

Итак, мы получили формулу для радиуса вписанной окружности r: r = sqrt((p - a)(p - b)(p - c) / p) = sqrt((p - 6)(p - 5r)(p - sqrt(36 + 25r^2)) / p).

Теперь мы можем найти радиус описанной окружности, используя формулу: R = (a * b * c) / (4 * S),

где S - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности: S = p * r.

Тогда формула для радиуса описанной окружности R примет вид: R = (a * b * c) / (4 * p * r) = (6 * 5r * sqrt(36 + 25r^2)) / (4 * p * r) = (30 * sqrt(36 + 25r^2)) / (4 * p).

Теперь мы можем выразить расстояние между центром вписанной окружности и центром описанной около неё окружности. Это расстояние равно разности радиусов: