Question

В треугольнике ABC стороны BC = 4 и AC = 5,а сумма длин высот, проведенные к этим сторонам ,равна третьей высоте.Найдите длину АВ.

Answer 1

Ответ: 3
Так как есть одно понятие, которое определяет длину сторон, этот треугольник со сторонами 3,4,5
Такое задание есть в ОГЭ

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для длины высоты треугольника:

Высота, проведенная к стороне BC: h₁ Высота, проведенная к стороне AC: h₂ Высота, проведенная к стороне AB: h₃

Известно, что h₁ + h₂ + h₃ = h (где h - третья высота)

Также известно, что площадь треугольника можно выразить через стороны и высоту к одной из сторон:

S = (1/2) * AB * h₃

Но мы знаем, что сумма длин высот равна третьей высоте:

h₁ + h₂ = h₃

Подставим это в формулу для площади:

S = (1/2) * AB * (h₁ + h₂)

S = (1/2) * AB * h

Используя формулу для площади треугольника через стороны:

S = (1/2) * BC * AC * sin(∠BAC)

Подставим известные значения:

S = (1/2) * 4 * 5 * sin(∠BAC)

S = 10 * sin(∠BAC)

Из равенства двух выражений для площади получаем:

(1/2) * AB * h = 10 * sin(∠BAC)

AB * h = 20 * sin(∠BAC)

AB = (20 * sin(∠BAC)) / h

Теперь заметим, что треугольник ABC — прямоугольный (по теореме Пифагора):

AB² + BC² = AC²

AB² + 4² = 5²

AB² + 16 = 25

AB² = 25 - 16

AB² = 9

AB = √9

AB = 3

Таким образом, длина AB равна 3.