Question

Докажите что если прямая а пересекает плоскость а, то она пересекает так ж любую плоскость , параллельную данной плоскости а

Answer 1

Дано: a∩α; α║β.

Д-ть: a∩β.

Д-во:

Прямая может пересекать плоскость, лежать в плоскости или быть параллельной ей.

Если a║β, то a⊂α или a║α т.к. α║β.

Если a⊂β, то a║α т.к. α║β.

При возможный вариантах прямая a не пересекает плоскость α, получается противоречие, то есть такие условия не возможны. Остаётся только одно возможное взаимное расположение: a∩β. Доказано.

Answer 2

Предположим, что у нас есть прямая a, которая пересекает плоскость A. Мы хотим доказать, что эта прямая также пересекает любую плоскость, параллельную плоскости A.

Для начала, давайте рассмотрим плоскость B, которая параллельна плоскости A. Поскольку плоскость B параллельна плоскости A, то нормальные векторы этих плоскостей должны быть коллинеарными.

Теперь предположим, что прямая a не пересекает плоскость B. Это означает, что все точки прямой a должны находиться либо полностью выше, либо полностью ниже плоскости B.

Но, поскольку плоскость A пересекает прямую a, она содержит как минимум одну точку этой прямой. Значит, существует точка прямой a, которая лежит на плоскости A.

Теперь возникает противоречие: если прямая a пересекает плоскость A и при этом не пересекает плоскость B, то это означает, что эта точка прямой a одновременно находится как выше, так и на плоскости A. Но это невозможно, так как плоскость A и плоскость B параллельны.

Таким образом, наше предположение неверно, и прямая a должна пересекать любую плоскость, параллельную плоскости A, если она пересекает плоскость A. Это доказывает, что если прямая a пересекает плоскость A, то она пересекает также любую плоскость, параллельную плоскости A.