Question

Большая диагональ прямоугольной трапеции лежит на биссектрисе острого угла и делит вторую диагональ в отношении 8 : 5, начиная от вершины прямого угла. Найти периметр трапеции, если меньшая сторона равна 16 см.

Answer 1

Пусть травеция АВСД. Основания ВС и АД, АД-большее. АВ -перпендикулярна АД. Ясно, что треугольник ДВС- равнобедренный (угол ДВС равен углу АДВ,как внутренние накрест лежащие, а АДВ=ВДС).
Итак: СД=ВС=у.
Кроме того, по свойству биссектрисы в треугольнике АСД : у:АД=5/8
Пусть АД=х. 8у=5х. По теореме Пифагора 16*16+(x-y)^2=y^2
256+9/25y^2=y^2
256=16y^2/25 16=4y/5
y=20 x=32 Периметр: 20+20+16+32=88
Ответ 88

Answer 2

Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, где AB - большая основа, CD - меньшая основа, BC - большая диагональ, AD - меньшая диагональ. Пусть M - точка пересечения большей диагонали BC и биссектрисы острого угла, а N - точка на меньшей диагонали AD, такая что AN : ND = 8 : 5.

Так как M лежит на биссектрисе острого угла, то AM = BM. Пусть AM = BM = x.

Также из условия задачи известно, что AN : ND = 8 : 5. Пусть AN = 8y и ND = 5y, где y - некоторое положительное число.

Так как AM = BM = x и AN = 8y, то AB = AM + BM + MN = 2x + MN.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AMN: AM^2 + MN^2 = AN^2, x^2 + MN^2 = (8y)^2, x^2 + MN^2 = 64y^2.

Также из условия задачи известно, что MN делит диагональ AD в отношении 8 : 5, начиная от вершины прямого угла. Значит, MD = 8y + 5y = 13y.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DMN: DM^2 + MN^2 = MD^2, (2x)^2 + MN^2 = (13y)^2, 4x^2 + MN^2 = 169y^2.

Из этих двух уравнений получаем систему: x^2 + MN^2 = 64y^2, (1) 4x^2 + MN^2 = 169y^2. (2)

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): 4x^2 - x^2 = 169y^2 - 64y^2, 3x^2 = 105y^2, x^2 = 35y^2.

Теперь найдем выражение для AB: AB = 2x + MN = 2√(35y^2) + MN.

Заметим, что по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DMN: DM^2 + MN^2 = DN^2, (13y)^2 + MN^2 = (5y)^2, 169y^2 + MN^2 = 25y^2, MN^2 = 25y^2 - 169y^2 = -144y^2.

Мы получили отрицательное значение для MN^2, что невозможно в реальных условиях. Значит, данная система уравнений не имеет решений.

Следовательно, нет