Question

Медиана делит треугольник на два треугольника с равными периметрами. Докажите, что исходный треугольник равнобедренный.

Answer 1

Обозначим стороны треугольников за a, b и с (с - сторона, на которую опущена медиана), а медиану за m.
Периметр первого треугольника равен:
P1 = a + m + 1/2c.
Периметр второго треугольника а равен:
P2 = b + m + 1/2c.
По условию P1 = P2. Тогда:
a + m + 1/2c = b + m + 1/2c
a = b.
Значит, у треугольника две стороны равны => он равнобедренный по определению.

Answer 2

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, где M - медиана, проходящая из вершины A и делит треугольник на два треугольника равных периметров.

Мы знаем, что медиана M делит сторону BC пополам, то есть BM = MC.

Предположим, что треугольник ABC не является равнобедренным. Это означает, что две его стороны не равны.

Пусть AB ≠ AC.

Так как медиана M делит сторону BC пополам, у нас есть BM = MC.

Из треугольника ABM:

AB + BM > AM (неравенство треугольника).

Из треугольника AMC:

AC + MC > AM (неравенство треугольника).

Так как BM = MC, мы можем заменить MC на BM во втором неравенстве:

AC + BM > AM.

Теперь объединим эти два неравенства:

AB + BM > AM > AC + BM.

AB > AC.

Но это противоречит нашему предположению, что AB ≠ AC.

Таким образом, наше предположение было неверным, и треугольник ABC должен быть равнобедренным, где AB = AC.

Таким образом, доказано, что исходный треугольник равнобедренный, если его медиана делит его на два треугольника с равными периметрами.