Question

Помогите с задачей по геометрии (из школы) Периметр равнобедренного треугольника относится к его основанию как 8:3 .Найдите отношение радиусов вписанной и описанной окружности.

Answer 1

АС- основание
АС=3х
тогда (АВ+ВС+3x)/(3x)=8/3
AB=BC=2,5x
по теореме Пифагора
ВН²=АВ²-АН²
ВН=2х
S(ABC)=(1/2)·BH·AC=(1/2)·2x·3x=3x²
r-радиус вписанной окружности
r=S/p
где р- полупериметр
r=(3x²)/(4x)=(3/4)x
R-радиус описанной окружности
R=(abc)/(4S)=(25/16)x
a,b,c- стороны треугольника
r/R=12/25

Answer 2

Давайте обозначим периметр равнобедренного треугольника через Р, а длину его основания — через b. Таким образом, длина каждой из равных сторон треугольника равна (P - b)/2.

В равнобедренном треугольнике, вписанном в окружность, каждое изоскелесное ребро равноудалено от центра окружности. Поэтому, если r1 — радиус вписанной окружности, то его длина равна расстоянию от центра окружности до одной из сторон треугольника. Из треугольника со сторонами (P - b)/2, (P - b)/2 и b, мы можем вывести формулу для r1, используя теорему Пифагора:

r1^2 = ((P - b)/2)^2 - (b/2)^2 r1^2 = (P^2 - 2Pb + b^2)/4 - b^2/4 r1^2 = (P^2 - 2Pb + b^2 - b^2)/4 r1^2 = (P^2 - 2Pb)/4 r1^2 = P(P - 2b)/4

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник, описанный около окружности. В таком треугольнике, каждая сторона равна радиусу описанной окружности, обозначим его r2.

Из утверждения о периметре равнобедренного треугольника, мы знаем, что:

P = 2r2 + b

Теперь, используя это уравнение, мы можем выразить b:

b = P - 2r2

Подставим это значение в формулу для r1^2:

r1^2 = P(P - 2b)/4 r1^2 = P(P - 2(P - 2r2))/4 r1^2 = P(3P - 4r2)/4

Теперь у нас есть два выражения для r1^2, полученных из вписанной и описанной окружностей:

r1^2 = P(P - 2b)/4 r1^2 = P(3P - 4r2)/4

Поскольку r1^2 одно и то же в обоих выражениях, мы можем приравнять их:

P(P - 2b)/4 = P(3P - 4r2)/4

Упростим это уравнение:

P - 2b = 3P - 4r2 2b - 4r2 = 2P - P 2b - 4r2 = P

Теперь, используя соотношение периметра к основанию (8:3), мы