Question

На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка K так что AK= 1/4KD.Диагональ AC и отрезок BK пересекаются в точке P найдите площадь параллелограмма ABCD если площадь треугольника APK равна 1 см квадратный!          

Answer 1

Треугольники АРК и ВРС будут подобны (по двум углам)))
с коэффициентом подобия 1:5
в подобных треугольниках и высоты (соответственные высоты) 
будут связаны таким же отношением (коэффициентом подобия)))
ТН -- высота параллелограмма
площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия)))
площадь параллелограмма будет в 60 раз больше
площади треугольника АРК

Answer 2

Обозначим стороны параллелограмма следующим образом: AB = a, AD = b.

Так как AK = (1/4)KD, то можно записать соотношение: AK + KD = KD + (1/4)KD

Сокращая KD, получим: AK + KD = (5/4)KD

Так как AK + KD = AD = b, получаем уравнение: b = (5/4)KD

Также из условия задачи известно, что площадь треугольника APK равна 1 кв. см.

Площадь треугольника можно выразить через основание AP и высоту PH: Площадь треугольника APK = (1/2) * AP * PH

Так как площадь треугольника равна 1 кв. см, получаем: (1/2) * AP * PH = 1

Так как треугольник APK прямоугольный, высота PH является высотой треугольника на основании AK. Поэтому PH = AK.

Таким образом, получаем: (1/2) * AP * AK = 1

Теперь рассмотрим треугольник APD. В этом треугольнике также есть прямоугольный треугольник AKD, и его гипотенуза AD равна b.

Используя теорему Пифагора, можем записать: AD^2 = AK^2 + KD^2

b^2 = AK^2 + KD^2

Так как AK = (1/4)KD, получаем: b^2 = (1/16)KD^2 + KD^2

b^2 = (17/16)KD^2

KD^2 = (16/17)b^2

KD = (4/√17)b

Теперь найдем площадь параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма можно выразить через диагонали AC и BD: Площадь параллелограмма ABCD = AC * BD

Так как AC и BD являются диагоналями параллелограмма, они пересекаются в точке P.

Площадь треугольника APK можно выразить через основание AP и высоту PH: Площадь треугольника APK = (1/2) * AP * PH

Также мы знаем, что PH = AK. Таким образом, площадь треугольника равна: (1/2) * AP * AK

Мы знаем, что площадь треугольника равна 1 кв. см, поэтому: (1/2) * AP * AK = 1

Теперь рассмотрим треугольник APD. Используя теорему Пифагора, можем записать: AD^2 = AK^2