Question

Доведіть що |x-2|-|x+3|>=-5 для будь якого значення x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:  | a + b | ≤ | a |  + | b |   - известное  свойство модулей

| x +3 | = | x - 2 + 5 | ≤  | x -2 | + |5| = |x -2| +5 ⇒  |x -2| +5 ≥ | x +3 |  ⇒

|x-2| - |x+3| ≥  -5  для всех  х

Answer 2

Давайте доведемо дану нерівність шляхом розгляду різних випадків значень x.

1. x < -3: У цьому випадку обидва вирази |x-2| і |x+3| будуть від'ємними, оскільки |x-2| завжди менше за 2, а |x+3| завжди менше за 3. Таким чином, нерівність стає: (-x+2) - (-x-3) ≥ -5 -x+2+x+3 ≥ -5 5 ≥ -5 Ця нерівність є правдивою для будь-якого значення x, яке задовольняє умову x < -3.

2. -3 ≤ x ≤ 2: У цьому діапазоні значень x, обидва вирази |x-2| і |x+3| стають додатними. Таким чином, нерівність стає: (x-2) - (x+3) ≥ -5 x-2-x-3 ≥ -5 -5 ≥ -5 Ця нерівність також є правдивою для будь-якого значення x, яке задовольняє умову -3 ≤ x ≤ 2.

3. x > 2: У цьому випадку обидва вирази |x-2| і |x+3| стають додатними. Таким чином, нерівність стає: (x-2) - (x+3) ≥ -5 x-2-x-3 ≥ -5 -5 ≥ -5 Ця нерівність також є правдивою для будь-якого значення x, яке задовольняє умову x > 2.

Отже, ми показали, що нерівність |x-2|-|x+3| ≥ -5 справедлива для будь-якого значення x.