Question

ABCD- прямоугольник. AD=1/2AB. Точка е лежит на CD и DE=1/4 DC. Доказать при помощи векторов, что BD перпендикулярно AE.

Answer 1

Условие перпендикулярности векторов а(Ха;Уа) и в(Хв;Ув): скалярное произведение Ха*Хв+Уа*Ув = 0.
Примем длину отрезка ДЕ за 1. Тогда АД = 2, АВ = 4
Если принять начало координат в точке А.
Вектор АЕ(2;1), вектор ВД перенесем в точку А, его координаты тогда (2;-4).
Отсюда Ха*Хв+Уа*Ув = 2*2+1*(-4) = 4-4 = 0.
Значит, векторы перпендикулярны.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию и докажем, что векторы BD и AE перпендикулярны друг другу.

Пусть вектор AB = a и вектор AD = 1/2a (согласно условию AD=1/2AB).

Также пусть вектор DC = b и вектор DE = 1/4b (согласно условию DE=1/4DC).

Теперь найдем векторы AE и BD.

Вектор AE = vektor(AC) + vektor(CE) = vektor(AD) + vektor(DE) = 1/2a + 1/4b.

Вектор BD = vektor(AB) + vektor(BD) = a + (-b) (так как вектор DC = -vektor(CD)) = a - b.

Теперь докажем, что векторы BD и AE перпендикулярны друг другу, используя свойства перпендикулярных векторов.

Для этого необходимо показать, что их скалярное произведение равно нулю:

BD · AE = (a - b) · (1/2a + 1/4b).

Раскроем скобки:

BD · AE = (1/2a · a) + (1/2a · (-b)) + (1/4b · a) + (1/4b · (-b)).

Здесь (1/2a · a) и (1/4b · a) представляют скалярное произведение параллельных векторов, и они равны нулю.

Также (1/2a · (-b)) и (1/4b · (-b)) представляют скалярное произведение перпендикулярных векторов, и они также равны нулю.

Следовательно, BD · AE = 0.

Таким образом, мы доказали, что векторы BD и AE перпендикулярны друг другу при помощи векторного анализа.