Question

В трапеции ABCD, AD – большее основание, угол D = 60°. Биссектрисы углов C и D пересекаются в точке О, ОD = а, ВС = в, AD = с. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.
∠BCD + ∠CDA = 180°,  значит сумма их половинок равна 90°,
∠OCD + ∠ODC = 90°, ⇒ ∠COD = 90°, ∠CDO = 30°.

Проведем высоту СН.
ΔCHD: ∠CHD = 90°, ∠CDH = 60°, ⇒ ∠HCD = 30°
            
ΔCHD = ΔDOC по гипотенузе и острому углу (CD - общая гипотенуза, ∠HCD = ∠CDO = 30°), ⇒
CH = DO = a

Sabcd = (b + c)/2 · a

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрис треугольника.

Из условия известно, что угол D равен 60°. Поскольку биссектрисы углов C и D пересекаются в точке О, то треугольник OCD является равнобедренным.

Так как OC является биссектрисой угла C, то угол OCB равен половине угла C, то есть 30°.

Также угол OCD равен половине угла D, то есть 30°.

Таким образом, треугольник OCD является равнобедренным со сторонами OC = OD = а и углами OCB = OCD = 30°.

Из равнобедренности треугольника OCD следует, что угол OBC также равен 30°.

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла D и основания AD как точку M.

Тогда треугольник OMB также является равнобедренным, и угол OBM равен углу OMB, который равен половине угла B.

Угол OBM равен 30°, так как угол OBC равен 30°.

Итак, мы выяснили, что угол B равен 60°.

Также из равнобедренности треугольника OMB следует, что OM = OB = с.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ABC.

Угол B равен 60°, угол C равен 120° (так как угол C + угол D = 180°), и угол A равен 180° - угол B - угол C = 180° - 60° - 120° = 0°.

Таким образом, угол A равен 0°, что означает, что сторона AB является прямой линией.

Трапеция ABCD становится треугольником BCD.

Известно, что BC = в, CD = с, и угол BCD равен 120°.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника BCD.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = (1/2) * сторона1 * сторона2 * sin(угол между сторонами).

В нашем случае сторона1 = в, сторона2 = с, и угол между сторонами BCD равен 120°.

Таким образом, площадь треугольника BCD равна:

Площадь = (1/2)