Question

Упростите выражение: 2sin^2a+cos^4a-sin^4a

Answer 1

2sin²a+cos⁴a-sin⁴a = 2sin²a+(cos²a-sin²a)(cos²a+sin²a) = 2sin²a+cos²a-sin²a=sin²a+cos²a=1

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами. В частности, мы знаем, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1 и sin^4(a) + cos^4(a) = 1 - 2sin^2(a)cos^2(a). Давайте заменим эти выражения в исходном уравнении:

2sin^2(a) + cos^4(a) - sin^4(a) = 2sin^2(a) + (1 - 2sin^2(a)cos^2(a)) - sin^4(a) = 2sin^2(a) + 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) - sin^4(a)

Теперь давайте распространемся о выражении 2sin^2(a)cos^2(a). Мы можем заметить, что это является произведением двух синусов и двух косинусов, что может быть переписано в виде sin^2(a)cos^2(a). Давайте заменим это в уравнении:

= 2sin^2(a) + 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) - sin^4(a) = 2sin^2(a) + 1 - 2sin^2(a)cos^2(a) - (sin^2(a))^2

Теперь мы видим, что у нас есть два одинаковых слагаемых, которые можно объединить:

= 2sin^2(a) - 2sin^2(a)cos^2(a) + 1 - (sin^2(a))^2

Заметим, что 2sin^2(a) - 2sin^2(a)cos^2(a) может быть факторизовано:

= 2sin^2(a)(1 - cos^2(a)) + 1 - (sin^2(a))^2

Зная, что 1 - cos^2(a) = sin^2(a), мы можем сделать замену:

= 2sin^2(a)(sin^2(a)) + 1 - (sin^2(a))^2 = 2sin^4(a) + 1 - (sin^2(a))^2

Теперь мы видим, что (sin^2(a))^2 является квадратом синуса, который можно заменить на (1 - cos^2(a)):

= 2sin^4(a) + 1 - (1 - cos^2(a)) = 2sin^4(a) + 1 - 1 + cos^2(a) = 2sin^4(a) + cos^2(a)

Таким образом, упрощенное выражение равно 2sin^4(a) + cos^2(a).