Question

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а*корень из 2 и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите: а) меньшую высоту параллелограмма; б) угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания; в) площадь боковой поверхности параллелепипеда; г) площадь поверхности параллелепипеда.

Answer 1

а) Меньшая высота параллелограмма находится из равнобедренного прямоугольного треугольника АВН (острые углы = 45°). По Пифагору 2*ВН²=АВ². Тогда 2*ВН²=а²*2, отсюда ВН=а. Это и высота параллелепипеда.

б) Угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания - это двугранный угол, измеряемый градусной мерой линейного угла D1KD, образованный перпендикулярами D1K и DK к ребру АВ. Cинус этого угла равен отношению DD1/KD1. В прямоугольном треугольнике АКD:  

<КАD =<KDA = 45°. Значит АК=КD= а√2.

Тогда КD1=√(КD²+DD1²)=√(2а²+а²)=а√3.  

Sinα = a/а√3 = √3/3.

Ответ: искомый угол равен arcsin(√3/3).

в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна произведению периметра основания на высоту, то есть Sб=2*(а√3+2а)*а =а²(2+√2).

г) Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей баковой поверхности и удвоенной площади основания. То есть

Sполн=а²(2+√2)+2*AD*BH=а²(2+√2)+4а² = а²(6+√2).

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся различные свойства параллелограмма и параллелепипеда. Давайте по порядку решим каждый пункт задачи:

а) Чтобы найти меньшую высоту параллелограмма, нам нужно знать длину более длинной стороны параллелограмма. В данном случае более длинная сторона равна 2а. Меньшая высота параллелограмма соответствует этой стороне, так как она перпендикулярна к ней и соединяет ее с противоположным углом. Таким образом, меньшая высота параллелограмма равна 2а.

б) Угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания параллелепипеда можно найти, зная угол между стороной параллелограмма ABCD и диагональю параллелепипеда AC₁. Для нахождения этого угла воспользуемся свойством параллелограмма: диагонали параллелограмма делятся пополам и образуют равные углы.

В параллелограмме ABCD диагональ AC₁ делит угол ABC пополам. Угол ABC равен 45°, поэтому угол между диагональю AC₁ и стороной ABCD равен 45°/2 = 22.5°.

Теперь рассмотрим плоскость основания параллелепипеда ABCD. Она проходит через стороны AB и AD, которые являются сторонами параллелограмма ABCD. Угол между этой плоскостью и плоскостью ABCD равен углу между стороной ABCD и диагональю AC₁, то есть 22.5°.

в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна сумме площадей его сторон. У параллелепипеда есть 4 боковые стороны, которые являются прямоугольниками. Длина каждой стороны прямоугольника равна длине соответствующей стороны параллелограмма ABCD (а * корень из 2), а высота равна меньшей высоте параллелограмма (2а). Таким образом, площадь каждой боковой стороны равна (а * корень из 2) * (2а) = 2а