Question

Точка М лежит на окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD. Докажите, что МА^2+ МВ^2+ МС^2+ МD^2= 8R^2

Answer 1

  АВСD – прямоугольник, его диагонали – диаметры описанной окружности. ⇒ угол М в треугольниках ВМD и АМС - прямой.   В ∆ АМС по т.Пифагора MA²+MC²=BD²;  в ∆ BMD по т.Пифагора МВ²+МD²=BD²

  Сложив два уравнения, получим. МА²+МВ²+МС²+МD²=2BD²  Диаметр DВ=2R, следовательно, 2BD²=2(2R)²=8R² ⇒ МА²+МВ²+МС²+МD²=8BD² Доказано.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами окружностей.

Пусть центр окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD, обозначен как O. Также пусть точка М лежит на этой окружности.

Так как точка М лежит на окружности, расстояние от точки М до центра окружности O равно R. Обозначим это расстояние как MO.

Теперь рассмотрим треугольник МАО. Мы знаем, что отрезок АО является радиусом окружности и равен R. Также отрезки МО и МА являются сторонами треугольника. Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем следующее соотношение:

МА^2 = МО^2 + ОА^2

Так как МО = R и ОА = R, то это соотношение можно переписать как:

МА^2 = R^2 + R^2 = 2R^2

Аналогичным образом мы можем применить теорему Пифагора к треугольникам МВО, МСО и МДО:

МВ^2 = МО^2 + ОВ^2 = R^2 + R^2 = 2R^2 МС^2 = МО^2 + ОС^2 = R^2 + R^2 = 2R^2 МД^2 = МО^2 + ОД^2 = R^2 + R^2 = 2R^2

Теперь сложим все эти равенства:

МА^2 + МВ^2 + МС^2 + МД^2 = 2R^2 + 2R^2 + 2R^2 + 2R^2 = 8R^2

Таким образом, мы доказали, что МА^2 + МВ^2 + МС^2 + МД^2 равно 8R^2.