Question

В треугольнике СDE точка М лежит на стороне СЕ, причем угол СМD острый. Докажите, что DE больше DМ

Answer 1

В треугольнике ДМЕ угол М (как внешний к острому углу по заданию) будет тупым, т.е. самым большим. По теореме синусов против большего ула лежит большая сторона. Поэтому ДЕ больше ДМ.

Answer 2

Для доказательства неравенства DE > DM в треугольнике CDE с точкой M на стороне CE и острым углом CMD можно использовать теорему синусов.

В треугольнике CMD применим теорему синусов: sin(CMD) = DM / CM

В треугольнике CDE применим теорему синусов: sin(CDE) = DE / CE

Так как угол CMD острый, то sin(CMD) > 0. Это означает, что DM / CM > 0, или DM > 0, так как CM всегда положительно.

Теперь сравним sin(CDE) и sin(CMD): sin(CDE) = DE / CE sin(CMD) = DM / CM

Так как CMD острый, то sin(CMD) < sin(90°) = 1. Это означает, что DM / CM < CE / DE.

Помним, что DM > 0 и CM > 0, поэтому можем умножить неравенство на DM и CM без изменения знака: DM * (DM / CM) < CE * (CE / DE) DM^2 / CM < CE^2 / DE

Так как DM^2 / CM < CE^2 / DE, то DM^2 / CM < DE^2 / DE. Избавимся от дроби в левой части: DM^2 < DE^2

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей: DM < DE

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике CDE с точкой M на стороне CE и острым углом CMD выполняется неравенство DE > DM.