Question

Средняя линия трапеции равна 12 см, а периметр- 48 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Answer 1

Сумма оснований равна 24.Сумма боковых сторон равна сумме оснований. Если в четырехугольник можно вписать окружность то суммы противоположных сторон равны. Это доказывается легко. Нам нужно доказать и обратное утверждение. Оно доказывается следующим построением.
Рассмотрим такой четырехугольник. Внишем окружность касающуюся трех сторон. Легко видеть, что четвертая сторона может быть проведена единственным образом, как касательная к окружности проходящая через одну из вершин четырехугольника. Значит описанный вокруг окружности четырехугольник совпадет с заданным.

Answer 2

Для доказательства, что в данную трапецию можно вписать окружность, мы должны показать, что сумма длин двух ее боковых сторон равна сумме длин оснований.

Пусть основания трапеции имеют длины a и b (где a > b), а боковые стороны имеют длины c и d (где c > d).

Известно, что средняя линия трапеции (m) равна полусумме длин ее оснований, то есть m = (a + b) / 2.

Также известно, что периметр трапеции (P) равен сумме длин всех ее сторон, то есть P = a + b + c + d.

Исходя из данных, у нас есть следующая система уравнений:

m = (a + b) / 2 P = a + b + c + d

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы выразить a, b, c и d через m и P.

Из первого уравнения:

a + b = 2m (Уравнение 1)

Из второго уравнения:

a + b + c + d = P (Уравнение 2)

Мы хотим показать, что a + c = b + d.

Подставим уравнение 1 в уравнение 2:

2m + c + d = P

Выразим c через известные значения:

c = P - 2m - d

Теперь подставим это выражение для c в уравнение a + c = b + d:

a + P - 2m - d = b + d

Перегруппируем члены:

a - b = 2d - P + 2m

Мы хотим показать, что a - b = 0, что означает a = b.

Подставим изначальное значение m = (a + b) / 2:

a - b = 2d - P + 2((a + b) / 2)

Упростим это уравнение:

a - b = 2d - P + a + b

Раскроем скобки:

a - b = a + b + 2d - P

Перенесем члены:

0 = 2d - P

Поскольку мы хотим показать, что a - b = 0, значит, a = b.

Таким образом, мы доказали, что в данную трапецию можно вписать окружность, так как внутренний круг будет касаться всех сторон трапеции, поскольку a = b.