Question

Равнобедренная трапеция MNKL (LM=KN) описана около окружности с центром О и радиусом r. Найдите OL, если ОM= m

Answer 1

Из данного условия следует, что треугольник MOL - прямоугольный, и радиус r является высотой к ML. решать можно разными способами
например, таким- обозначим угол LMO= $\alpha$

$r/m=sin( \alpha ) \\ r/LO=cos( \alpha ) \\ sin^{2} ( \alpha )+ cos^{2} ( \alpha )= (r/m)^{2} +(r/LO)^{2} =1$
отсюда  LO= $\sqrt{ \frac{ m^{2} r^{2} }{ m^{2}- r^{2} } }$

Answer 2

По условию, трапеция MNKL является равнобедренной, что означает, что боковые стороны LM и KN равны. Пусть эта длина равна x.

Так как трапеция описана около окружности с центром O и радиусом r, мы можем использовать свойство описанной окружности, которое гласит: если точка на окружности соединена с центром окружности, то получающийся отрезок является диаметром окружности.

Следовательно, OM является диаметром окружности, и его длина равна 2r.

Мы знаем, что OM = m, а OM = 2r, поэтому 2r = m.

Так как ОL - это радиус окружности, и OL является высотой трапеции, проведенной из вершины L, то OL перпендикулярна стороне MN.

Поскольку трапеция MNKL является равнобедренной, OL будет также являться медианой и биссектрисой треугольника LMK.

Это означает, что OL делит угол KLM пополам и перпендикулярна стороне KM.

Таким образом, OL является высотой равнобедренного треугольника LMK, и мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти его длину.

Из прямоугольного треугольника LMO с гипотенузой OL и катетами LM и OM, мы можем записать:

OL^2 = LM^2 - OM^2.

У нас уже есть информация, что LM = x и OM = m. Подставляя эти значения, получаем:

OL^2 = x^2 - m^2.

Таким образом, OL = sqrt(x^2 - m^2).