Question

Высота правильной треугольной пирамиды равна 9 см. На расстоянии 3 см от вершины пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного сечения равна 5 см^2. Найдите объём пирамиды.

Answer 1

Для начала нужно найти объем отсеченной части пирамиды.
Так как плоскость сечения находится на расстоянии 3 см от вершины пирамиды,

ее высота равна 3 см.
Объем пирамиды равен одной трети произведения ее высоты на площадь основания.
v=3·5:3=5 см³
Плоскоcть сечения параллельна основанию исходной пирамиды, поэтому исходная и отсеченная пирамиды подобны.
Объемы подобных фигур относятся как их линейные коэффициенты подобия в кубе.
Коэффициент подобия найдем из отношений  высот:
k=9:3=3
k³=27
V:v =27
V=v·27=5·27=135 см³

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся некоторые свойства треугольной пирамиды. Площадь поперечного сечения пирамиды параллельного основанию плоскостью равна произведению полупериметра основания на расстояние между сечениями.

В нашем случае, площадь поперечного сечения равна 5 см², а расстояние между сечениями (высота сечения) равно 3 см. Обозначим сторону треугольника основания пирамиды через "а". Таким образом, площадь поперечного сечения можно выразить следующим образом:

5 = (a/2) * 3

Раскроем скобки:

5 = (3a)/2

Умножим обе части уравнения на 2:

10 = 3a

Разделим обе части уравнения на 3:

a = 10/3

Теперь, когда мы знаем сторону треугольника основания пирамиды, мы можем найти её площадь. Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4,

где "a" - сторона треугольника основания.

Подставим значение "a" в формулу:

S = ((10/3)^2 * √3) / 4

S = (100/9 * √3) / 4

Теперь найдём объём пирамиды. Объём пирамиды можно вычислить по формуле:

V = (S * h) / 3,

где "S" - площадь основания, "h" - высота пирамиды.

Подставим значения в формулу:

V = ((100/9 * √3) / 4) * 9 / 3

V = (100/36 * √3) * 3

V = 100/12 * √3

V ≈ 8.66 см³

Таким образом, объём пирамиды равен приблизительно 8.66 см³.