Question

Доказать что точка пересечения медиан треугольника лежит в плоскости этого треугольника.

Answer 1

Пусть медиана AB, точка пересечения  - например O. По аксиоме, если 2 точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости. Поэтому если A и B лежат в плоскости треугольника , то и точка О лежит в этой плоскости

Answer 2

Для доказательства того, что точка пересечения медиан треугольника лежит в плоскости этого треугольника, мы можем использовать векторное представление медиан и проверить, что они лежат в одной плоскости.

Пусть дан треугольник ABC с вершинами A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) и C(x₃, y₃, z₃).

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Середина стороны AB имеет координаты: M₁ = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2, (z₁ + z₂) / 2)

Середина стороны BC имеет координаты: M₂ = ((x₂ + x₃) / 2, (y₂ + y₃) / 2, (z₂ + z₃) / 2)

Середина стороны CA имеет координаты: M₃ = ((x₃ + x₁) / 2, (y₃ + y₁) / 2, (z₃ + z₁) / 2)

Точка пересечения медиан треугольника называется центром тяжести или барицентром и обозначается точкой G.

Центр тяжести G имеет координаты: G = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3, (z₁ + z₂ + z₃) / 3)

Теперь мы проверим, лежат ли точки M₁, M₂, M₃ и G в одной плоскости.

Для этого рассмотрим вектора:

V₁ = M₂ - M₁ = ((x₂ + x₃) / 2 - (x₁ + x₂) / 2, (y₂ + y₃) / 2 - (y₁ + y₂) / 2, (z₂ + z₃) / 2 - (z₁ + z₂) / 2) = ((x₃ - x₁) / 2, (y₃ - y₁) / 2, (z₃ - z₁) / 2)

V₂ = M₃ - M₁ = ((x₃ + x₁) / 2 - (x₁ + x₂) / 2, (y₃ + y₁) / 2 - (y₁ + y₂) / 2, (z₃ + z₁) / 2 - (z₁ + z₂) / 2) = ((x₃ - x₂) / 2, (y₃ - y₂) / 2, (z₃ - z₂) / 2)

V₃ = G - M₁ = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3 - (x₁ + x₂) / 2, (y₁ +