Question

Около четырёхугольника ABCD описана окружность. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке E. Докажите, что треугольники BEA и CED подобны.

Answer 1

∠BEA=∠CED     (вертикальные)
∠ABD=∠ACD   и ∠BAC=∠BDC   (опираются на одну дугу)
ΔABE подобен ΔDEC (по трём углам)

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников BEA и CED нам необходимо показать, что их соответствующие углы равны, а их стороны пропорциональны.

1. Рассмотрим углы треугольников: Угол BAE соответствует углу CDE, так как они являются вертикальными углами (вершина угла BAE находится на окружности, описанной около четырёхугольника ABCD, а вершина угла CDE находится на этой окружности). Угол BEA соответствует углу CED, так как они являются вертикальными углами (вершина угла BEA находится на диагонали AC, а вершина угла CED находится на диагонали BD).

   Таким образом, углы BAE и CDE, а также углы BEA и CED равны между собой.

2. Рассмотрим стороны треугольников: Сторона BE соответствует стороне CE, так как они являются диагоналями четырёхугольника ABCD, которые пересекаются в точке E.

   Таким образом, сторона BE и сторона CE пропорциональны друг другу.

Исходя из равенства углов и пропорциональности сторон, мы можем заключить, что треугольники BEA и CED подобны.