Question

Разница между двумя сторонами треугольника равняется 5 см, а угол между ними - 60 градусов. Чему равен радиус круга, вписанного в этот треугольник, если его третья сторона равняется 7 см?

Answer 1

Пусть треугольник АВС. ВС=7. АС-АВ=5
Отложим на Ас отрезок АД=АВ. ДС=5. Тр-к АДВ- равносторонний. Значит угол ВДС=120 градусов.
Пишем теорему косинусов для треугольника ВСД. ВД=Х
49=25+Х*Х+5*Х
Отсюда Х=5,5
В АВС      АВ=5,5. ВС=7, АС=10,5. Периметр П=23. Полупериметр р=11,5.
Строны пусть а,в,с. (р -а)=6   , (р-в)=4,5  (р-с)=1
(р-а)*(р-в)*(р-с)/р=6*4,5/11,5=54/23
Радиус вписанной окружности - корень из этой величины.
Р=sqrt(54/23)

Answer 2

Для решения данной задачи можно использовать формулу радиуса вписанной окружности треугольника:

$r = \frac{{a}}{{2 \cdot \tan(\frac{{\alpha}}{{2}})}}$

где $r$ - радиус вписанной окружности, $a$ - длина стороны треугольника, $\alpha$ - угол между сторонами треугольника.

В данном случае, длина третьей стороны треугольника равна 7 см, а угол между сторонами (известный как угол между сторонами треугольника, в котором вписанная окружность касается каждой из сторон) равен 60 градусов.

Подставляя значения в формулу, получим:

$r = \frac{{7}}{{2 \cdot \tan(\frac{{60}}{{2}})}}$

Вычисляя значение в скобках:

$\frac{{60}}{{2}} = 30$

$\tan(30^\circ) \approx 0.5774$

Подставляя обратно в исходную формулу:

$r = \frac{{7}}{{2 \cdot 0.5774}} \approx 6.06$

Таким образом, радиус вписанного в треугольник круга примерно равен 6.06 см.