Question

Помогите! 30 баллов! Площади оснований правильной четырехугольной пирамиды равны 4 и 64 см2, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды.

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства подобных треугольников.

Пусть ABCD - правильная четырехугольная пирамида, где AB = 4 см и BCD = 64 см². Пусть E - точка пересечения диагоналей AD и BC (центр основания). Пусть F - точка пересечения бокового ребра BC с плоскостью основания.

Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то треугольник BCF является прямоугольным треугольником. Поэтому мы можем найти длину бокового ребра BC:

BC = BF / cos(45°) = BF / (√2/2) = 2BF/√2 = √2BF

Теперь нам нужно найти площадь диагонального сечения, которая обозначена как DE.

Поскольку ABCD - правильная пирамида, диагональные сечения ABCD и ADE подобны. Поэтому отношение площадей этих сечений равно квадрату отношения длин соответствующих сторон:

(Площадь ADE) / (Площадь ABCD) = (DE^2) / (BC^2)

Мы знаем, что площадь ABCD равна 64 см² и BC равно √2BF. Также, поскольку AE является высотой пирамиды, площадь ADE равна половине произведения стороны DE и AE:

(Площадь ADE) = (1/2) * (DE) * (AE)

Теперь мы можем записать уравнение:

(1/2) * (DE) * (AE) / 64 = (DE^2) / (2BF)^2

Разделим обе части уравнения на (DE):

(1/2) * (AE) / 64 = DE / (2BF)^2

Подставим известные значения: AE = AD / 2 = AB / 2 = 4 / 2 = 2 см и BC = √2BF:

(1/2) * 2 / 64 = DE / (√2BF)^2

1/64 = DE / (2BF)^2

DE = (2BF)^2 / 64

DE = (2(√2BF))^2 / 64

DE = (4BF)^2 / 64

DE = (4(√2BF))^2 / 64

DE = (8BF)^2 / 64

DE = (64BF^2) / 64

DE = BF^2

Таким образом, площадь диагонального сечения DE равна площади квадрата