Question

HELP!!! Решите задачу: Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит угол в отношении 1:2 и отсекает от гипотенузы меньший отрезок 2 см. Найти площадь треугольника.

Answer 1

Примем меньшую часть, на которую высота делит прямой угол С треугольника АВС, равной а. Тогда вторая равна 2а.

а+2а=90°

а=90°:3=30°,

2а=2•30°=60°

В ∆ АСН гипотенуза АС вдвое длиннее катета АН, который лежит против угла 30° (свойство). АС=4 см.

Высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных друг другу и исходному треугольнику.

∠САВ= ∠ВСН=60°

∠СВН=∠АСН=30°. ⇒

Гипотенуза АВ =2АС=8 см

Высоту СН можно найти по т.Пифагора или

СН=АС•sinCAH=4•√3/2=2√3

S(ABC)=AB•CH:2=(8•2√3):2=8√3см²

Answer 2

Для решения задачи мы можем использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.

Пусть высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h, а гипотенуза треугольника равна c.

Из условия задачи, мы знаем, что высота делит угол в отношении 1:2, то есть углы треугольника равны 30°, 60° и 90°.

Мы также знаем, что высота отсекает от гипотенузы меньший отрезок, равный 2 см, и следовательно, больший отрезок равен c - 2.

Теперь мы можем применить свойство подобных треугольников. Рассмотрим больший треугольник с гипотенузой c и меньшим треугольником с гипотенузой (c - 2).

Углы треугольников одинаковы, поэтому треугольники подобны.

Отношение сторон подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон.

Мы можем записать соотношение по теореме Пифагора для каждого из треугольников:

1. Для большего треугольника: c² = h² + (c - 2)²

2. Для меньшего треугольника: (c - 2)² = h² + 2²

Решим первое уравнение для h²:

c² = h² + (c - 2)² c² = h² + c² - 4c + 4 h² = 4c - 4

Подставим это выражение для h² во второе уравнение:

(c - 2)² = 4c - 4 + 2² c² - 4c + 4 = 4c - 4 + 4 c² - 4c = 4c - 4 c² - 8c + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac D = (-8)² - 4(1)(4) D = 64 - 16 D = 48

Так как D > 0, у нас есть два корня:

c₁ = (-b + √D) / (2a) = (8 + √48) / 2 ≈ 7.66 c₂ = (-b - √D) / (2a) = (8 - √48) / 2 ≈ 0.34

Так как гипотенуза не может быть меньше 2 см, мы выбираем больший