Question

Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Докажите, что угол DAO равен углу СВО.

Answer 1

Достроим всю конструкцию до двух треугольников. Вертикальные углф равны. Стороны треугольника, которые расположены по диагонали друг от друга - тоже равны. Следовательно, треугольники равны по 2 сторонам и углу между ними. Тогда и все остальные углы у них равны, в частности те, которые нужны в задаче.
В следующий раз прикрепляйте рисунок.

Answer 2

Для доказательства равенства угла DAO и угла СВО воспользуемся свойствами пересекающихся отрезков и серединного перпендикуляра.

Поскольку точка О является серединой отрезка АВ, то отрезок AO равен отрезку BO, и угол AОВ является прямым углом. Аналогично, так как точка О является серединой отрезка СD, отрезок CO равен отрезку DO, и угол CОD также является прямым углом.

Так как углы AОВ и CОD являются прямыми углами, они равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольник ADO. У него два равных угла: угол ADO и угол DAO (так как точка О является серединой отрезка АВ). Также у треугольника ADO два равных отрезка: AO и DO (так как точка О является серединой отрезка СD). Поэтому треугольник ADO является равнобедренным треугольником.

Также рассмотрим треугольник СBO. У него два равных угла: угол CBO и угол СВО (так как точка О является серединой отрезка АВ). У треугольника СBO также два равных отрезка: CO и BO (так как точка О является серединой отрезка СD). Следовательно, треугольник СBO также является равнобедренным треугольником.

Поскольку у треугольника ADO два равных угла и у треугольника СBO два равных угла, то по свойству равнобедренных треугольников эти треугольники подобны.

Так как треугольники ADO и СBO подобны, и у них одинаковые соответствующие углы ADO и СBO, следовательно, угол DAO равен углу СВО.