Question

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол альфа. Через центр основания проведена плоскость параллельно двум непересекающимся ребрам пирамиды. Определите площадь сечения.

Answer 1

Из условия, что через центр основания проведена плоскость параллельно двум не пересекающимся ребрам пирамиды, примем, что сечение параллельно боковому ребру CD.

Так как центр основания находится на расстоянии (1/3)h от стороны основания, то высота KF сечения равна (1/3)L.

Здесь h - это высота основания, L - боковое ребро.

L = (2/3)h/cosα = ((2/3)*(a√3/2))/cosα = a√3/(3cosα).

KF = (1/3)*(a√3/(3cosα)) = a√3/(9cosα).

В сечении получился прямоугольник с основанием, равным (2/3)а.

Ответ: S = ((2/3)а)*KF = ((2/3)а)*(a√3/(9cosα)) = 2a²√3/(27cosα).

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами треугольной пирамиды.

Площадь сечения, образованного плоскостью, параллельной двум непересекающимся ребрам пирамиды, будет представлять собой проекцию основания на эту плоскость.

Рассмотрим поперечное сечение пирамиды этой плоскостью. Оно будет являться прямоугольником, у которого одна сторона равна боковому ребру пирамиды (h), а другая сторона равна стороне основания (a).

Таким образом, площадь прямоугольника можно найти, умножив длину стороны основания (a) на высоту прямоугольника (h).

Высоту прямоугольника (h) можно найти с помощью геометрических соображений. Рассмотрим правильный треугольник, образованный стороной основания пирамиды (a) и половиной бокового ребра пирамиды (h1).

У нас есть соотношение: tg(α) = h1 / (a / 2).

Решая это соотношение относительно h1, получаем: h1 = (a / 2) * tg(α).

Так как высота прямоугольника (h) равна удвоенной высоте треугольника (h1), получаем: h = 2 * h1 = 2 * (a / 2) * tg(α) = a * tg(α).

Таким образом, площадь сечения будет равна: Площадь = a * h = a * (a * tg(α)) = a^2 * tg(α).

Ответ: Площадь сечения равна a^2 * tg(α).