Question

Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые .Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата

Answer 1

О - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.
EF⊥KH,    EF∩KH = O

Розовые треугольники равны по гипотенузе и острому углу (гипотенузы - половинки равных диагоналей квадрата, угол 45°, так как в квадрате диагонали лежат на биссектрисах его углов)

Значит, OE = OF = OK = OH, и следовательно EF = KH.
Диагонали четырехугольника EFKH равны и точкой пересечения делятся пополам, значит это прямоугольник. А так как диагонали еще и перпендикулярны (по условию), то это квадрат.

Answer 2

Пусть у нас есть квадрат ABCD с диагоналями AC и BD, а также две взаимно перпендикулярные прямые, которые проходят через точку пересечения диагоналей и пересекают стороны квадрата в точках E, F, G и H.

Докажем, что четыре точки E, F, G и H образуют квадрат.

Возьмем треугольники ABE и ACF. Они имеют общую сторону AC и одинаковые углы при вершине A, так как прямые EF и GH являются взаимно перпендикулярными. Также, поскольку прямые EF и GH пересекают стороны квадрата, то углы EAB и FAC равны 90 градусам.

Теперь рассмотрим углы ABE и ACF. Они также равны 90 градусам, так как прямые EF и GH перпендикулярны между собой.

Таким образом, треугольники ABE и ACF являются прямоугольными и имеют равные углы при вершине A и при основаниях BE и CF.

Теперь мы можем заключить, что стороны BE и CF равны друг другу, так как прямоугольные треугольники с равными углами при основаниях имеют равные соответствующие стороны.

По аналогии, мы можем показать, что стороны AE и DF равны, а также стороны AB и AG равны.

Таким образом, у нас есть квадрат EFGH с вершинами в точках пересечения прямых EF и GH со сторонами квадрата ABCD.