Question

В трапеции  ABCD с основаниями BC и AD , диагонали AC и BD пересекаются в точке О.Докажите равенство площадей треугольников AOB и COD.

Answer 1

Трапеция АВСД, АС и ВД диагонали, проводим высоты ВН и СМ на АД, ВН=СМ, т.к ВС параллельно АД

Площадь треугольника АВД = 1/2АД х ВН, 

Площадь треугольника АСД = 1/2АД х СМ (ВН)

Площади равны 

Площадь АСД = площадь АОД + площадь СОД

Площадь АВД = площадь АОД + площадь АОВ

площадь СОД = площадь АОВ

Answer 2

Чтобы доказать равенство площадей треугольников AOB и COD, мы можем использовать подобие треугольников.

Обозначим точку пересечения диагоналей О. Поскольку треугольники AOB и COD имеют общую высоту (расстояние от вершины до основания), мы должны показать, что их основания пропорциональны.

Рассмотрим треугольник AOC и треугольник DOB. У них общая высота (расстояние от основания до точки пересечения диагоналей). Мы хотим показать, что их основания пропорциональны.

По теореме Брунсвига (также известной как теорема о пропорциональности диагоналей), если в трапеции диагонали пересекаются в точке О, то их отношение равно отношению длин отрезков, на которые они делятся точкой О.

Таким образом, мы можем записать:

AC / OC = BD / OD

Теперь рассмотрим треугольники AOB и COD. Они имеют общую высоту (расстояние от вершины до основания) и основания, которые пропорциональны (AC и BD).

Так как основания пропорциональны, мы можем записать:

AB / CD = AC / BD

Мы также знаем, что:

AC / OC = BD / OD

Теперь сравним соотношения:

(AB / CD) / (AC / OC) = (AC / BD) / (AC / OD)

Упрощая это выражение, получим:

(AB / CD) * (OC / AC) = (OD / BD)

Заметим, что (OC / AC) и (OD / BD) - это общие отношения из двух уравнений, которые мы использовали. Поэтому мы можем заменить их:

(AB / CD) * (AC / OC) = (OD / BD)

Но мы знаем, что (AC / OC) = (BD / OD), поэтому:

(AB / CD) * (BD / OD) = (OD / BD)

Умножая обе части на (CD * OD * BD), мы получим:

(AB * BD) = (OD * OD * CD)

Теперь мы видим, что площадь треугольника AOB (1/2 * AB * BD) равна площади треугольника COD (1/2 * OD * CD).

Таким образом, мы доказали равенство площадей треугольников AOB и COD.