Question

Вершины К и Р треугольников АКВ и АРВ лежат по одну сторону от прямой АВ. Прямая РК пересекает прямую АВ в точке М. Найдите, в каком отношении, считая от точки М, точка К делит отрезок РМ, если площадь треугольника АКВ относится к площади треугольника АРВ как 2:5.

Answer 1

Треугольники АКВ и АРВ имеют общее основание АВ, следовательно отношение их площадей будет равно отношению их высот. Прямая КL параллельна АВ, она делит угол MPN на пропорциональные отрезки, то есть МК/МР=LN/PN. Вообще, перемещая точку К по прямой КL получим множество треугольников АКВ для которых соблюдается полученное решение(смотри рисунок).

Answer 2

Пусть отношение, в котором точка К делит отрезок РМ, равно λ:1-λ, где λ - некоторый параметр.

Так как площадь треугольника АКВ относится к площади треугольника АРВ как 2:5, то можно сказать, что отношение высот треугольников, опущенных из точки К и точки Р, равно √(2/5):1.

Высота треугольника АРВ, опущенная из точки Р, проходит через точку К. Это означает, что отношение длин отрезков КМ и МР равно λ:1.

С другой стороны, отношение высот треугольников АКВ и АРВ равно √(2/5):1. Так как отрезок КМ является частью высоты треугольника АКВ, то отношение длин отрезков КМ и МР также равно √(2/5):1.

Итак, получаем уравнение:

λ:1 = √(2/5):1

Решим его:

λ = √(2/5)

Таким образом, точка К делит отрезок РМ в отношении √(2/5):1, считая от точки М.