Question

В окружности с центром O проведены диаметры KM и AE. Докажите, что: а) AK=EM; б) KE=AM; в)/_MKE=/_AMK.

Answer 1

Докажем,что AK=EM
Т.к по условию KM и AE диаметры ,то OK=AO=MO=EO(как радиусы),а углы AOK и MOE равны(как вертикальные)=> Треугольники AOK и MOE равны по двум сторонам и углу между ними=>AK=ME
Теперь докажем,что треугольники AOM и KOE равны. Углы AOM и KOE равны(как вертикальные),а ОКЕ=АМО и МАО=ОЕК(как накрест лежащие )=>треугольник АОМ равен треугольнику КОЕ по трём углам=>КЕ=АМ,а угол МКЕ равен углу АМК как накрест лежащие
Если не нравится доказательство в начале,то можно доказать аналогично тому,что во второй

Answer 2

Для доказательства данных утверждений воспользуемся свойствами окружности и соответствующими углами.

а) Чтобы доказать, что AK = EM, рассмотрим треугольники AKM и EOM. Оба треугольника имеют два равных угла: угол AKM и угол EOM (они оба равны 90 градусам, так как KM и AE являются диаметрами). Также, у них общая гипотенуза OM.

По свойству прямоугольного треугольника, если у двух треугольников два угла равны, а гипотенузы равны, то эти треугольники равны. Таким образом, треугольники AKM и EOM равны друг другу.

Это означает, что их соответствующие стороны также равны. В частности, AK = EM.

б) Для доказательства KE = AM рассмотрим треугольники KEM и AOM. Они имеют два равных угла: угол KEM и угол AOM (оба равны 90 градусам, так как KM и AE являются диаметрами). Также, у них общая гипотенуза OM.

Исходя из свойства прямоугольного треугольника, если у двух треугольников два угла равны, а гипотенузы равны, то эти треугольники равны друг другу. Таким образом, треугольники KEM и AOM равны друг другу.

Это означает, что их соответствующие стороны также равны. В частности, KE = AM.

в) Чтобы доказать, что угол MKE равен углу AMK, воспользуемся свойством окружности, согласно которому угол, образованный хордой и дугой окружности, равен половине соответствующей дуги.

В нашем случае, угол MKE образован хордой ME и дугой AE, а угол AMK образован хордой AK и дугой KM. Из свойства окружности следует, что мера дуги AE равна удвоенной мере угла MKE, а мера дуги KM равна удвоенной мере угла AMK.

Исходя из этого, мы можем заключить, что угол MKE и угол AMK имеют одинаковую меру.

Таким образом, мы доказали, что AK = EM, KE = AM