Question

Квадрат длины медианы угла при основании равнобедрянного трехугольника с углом при вершине 36 градусов равен 11. Найдите значение (в радикалах) длины биссектрисы этого трехугольника проведенной к боковой стороне.

Answer 1

Пусть будет треугольник ABC и медиана( она же биссектриса и высота ) BD. Углы А и С будут равны (180-120)/2=30 градусов. Проведя медиану BD получаем прямоугольный треугольник ABD, т.к. медиана также является высотой => образует угол 90 градусов. BD=AB/2, т.к. BD - катет, лежащий напротив угла 30градусов следовательно равный половине гипотенузы. И так BD=4/2=2. BD^2=2^2=4.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов и теоремой косинусов.

Пусть треугольник ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC. Угол при вершине A равен 36 градусов.

Мы знаем, что медиана треугольника делит основание пополам. Обозначим длину медианы через m, а длину основания (стороны BC) через a.

Так как медиана делит основание пополам, то получаем: BD = CD = a/2

Также, известно, что квадрат длины медианы угла при основании равен 11, то есть: m^2 = 11

Теперь воспользуемся теоремой косинусов. Обозначим угол BAC через α. Тогда угол ABC и угол ACB также равны α.

Применяя теорему косинусов в треугольнике ABC, получаем: cos(α) = (a/2) / m

Зная, что угол BAC равен 36 градусам, имеем: cos(36) = (a/2) / m

Так как cos(36) - это фиксированное значение, мы можем решить уравнение относительно a/2: (a/2) = m * cos(36)

Теперь воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABC: sin(α) = (a/2) / (биссектриса)

Мы хотим найти значение биссектрисы, поэтому обозначим её длину через b.

Теперь, подставляя a/2 и m из предыдущего уравнения, получаем: sin(36) = (m * cos(36)) / b

Так как sin(36) - это также фиксированное значение, мы можем решить уравнение относительно b: b = (m * cos(36)) / sin(36)

Теперь, подставляя m^2 = 11, получаем: b = (√11 * cos(36)) / sin(36)

Итак, значение длины биссектрисы, проведенной к боковой стороне равнобедренного треугольника, равно (√11 * cos(36)) / sin(36).