Question

С РИСУНКОМ!!! Правильная треугольная призма вписана в шар радиуса 8. Ребро основания призмы равно 5. Найдите высоту призмы

Answer 1

В призме АВСА₁В₁С₁ точки О₁ и О₂ - центры описанных около оснований окружностей.
Для правильного треугольника радиус описанной окружности: Rо=a√3/3 ⇒ R=АО₂=А₁О₁=5/√3.
Точка О - центр шара.
Окружности, описанные около оснований призмы лежат на поверхности окружности. 
Плоскость РКМ проходит через середину высоты призмы и параллельна её основаниям. ΔРКМ=ΔАВС.
Плоскости АВС и А₁В₁С₁ параллельны, и равноудалены от плоскости РКМ, значит плоскость РКМ пересекает поверхность шара по окружности, центр которой лежит на прямой О₁О₂. в точке О. 
В прямоугольном тр-ке AОО₂ АО=Rш=8, АО₂=Rо=5/√3.
ОО₂²=АО²-АО₂²=64-25/3=167/3.
h=О₁О₂=2·ОО₂=2√(167/3)≈14.9 - это ответ.